专题4.1 指数与指数函数（精讲精析篇）-2020-2021学年新高考高中数学核心知识点全透视

专题4.1指数与指数函数（精讲精析篇） 提纲挈领 点点突破 热门考点01 根式的化简与求值 (1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数． (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定． 【典例1】化简下列各式： ①； ②. 【典例2】化简下列各式： (1)(－3<x<3)；－ (2)(.＋)2＋ 【规律方法】 1.根式化简或求值的注意点 解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值． 2．对)n的进一步认识与( (1)对()n＝a(a≥0)．)n只有当a≥0时才有意义，且()n＝a，当n为大于1的偶数时，()n对任意a∈R都有意义，且()n的理解：当n为大于1的奇数时，( (2)对.＝|a|＝＝a；当n为偶数时，的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时， (3)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论． 3.有限制条件的根式化简的步骤 热门考点02 指数幂的化简与求值 指数幂运算的一般原则： (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 【典例3】计算：． 【典例4】已知则的值为__________． 【典例5】（2020·上海高三专题练习）若 ， ，且 ，则 _________. 【特别提醒】 根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是： (1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点； (2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式； （3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要善于应用公式变形． 热门考点03　指数函数的图象及应用 常考题型及技法 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较． 【典例6】（2020·上海高一课时练习）函数 和 （其中 且 ）的大致图象只可能是( ) A． B． C． D． 【典例7】（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）函数 EMBED Equation.DSMT4 且 过定点（ ） A． B． C． D． 【总结提升】 1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较． 3.识图的三种常用方法 （1）抓住函数的性质，定性分析： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. (2)抓住函数的特征，定量计算： 从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法： ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 4.过定点的图象 (1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）； (2) 与 的图象关于y轴对称； (3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减． 热门考点04 指数函数的性质及应用 1.指数函数图象的变化规律 指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大． 2.有关指数函数性质的问题类型及解题思路 (1)比较指数幂大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)． (2)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分