专题02 17.2 一元二次方程的解法-2020-2021学年初中数学截拳道（沪教版）

专题02 17.2一元二次方程的解法 知识精要 1.开平方法 通过对方程两边开平方求方程的解的方法叫做开平方法. 对于一元二次方程 ，如果 ，那么就可以用开平方法求它的根.当 时，方程有两 个不相等的根： ；当 时，得 ，这时就说方程有两个相等的根，记 作： . 2.因式分解法 通过因式分解把一元二次方程化为两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题化为解一元一次方程的问题，像这样解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 3.配方法 解一元二次方程，有时可以先把方程的一边配成一个含有未知数的完全平方的形式，右边是一个 常数，然后用开平方法来解，像这样解一元二次方程的方法，叫做配方法.对于一般的一元二次 方程，都可以用配方法来解. 解方程 的一般步骤是： (1)通过移项、两边同除以二次项的系数，将原方程变形为 ( 是已知数)的形式. (2)通过方程两边同加上“一次项系数一半的平方”，将方程 的左边配成一个关于 的完全平方式，方程化为 . (3)当 时，再利用开平方法解方程；当 时，原方程无实数根. 4.求根公式 研究解一元二次方程的通用方法，其实就是解关于 的一元二次方程 . 因为 ，所以方程两边同除以 ，得 . 移项，得 . 两边同时加上 ，得 ， 整理，得 . 因为 ，所以 . (1)当 时， . 利用开平方法，得 . 则 ， 即 . (2)当 时， . 这时，在实数范围内， 取任何值都不能使方程 左右两边的值相等，所以原方程没有实数根. 由上述讨论可得：一元二次方程 ，当 时，它有两个实数根： ， ，这就是一元二次方程的求根公式. 在求根公式中，如果 ，那么 ，即方程有两个相等实根. 在解一元二次方程时，只要把方程化为一般式 ，如果 ，把 的值代入求根公式，就可以求得方程的实数根；如果 ，那么原方程无实数根.这种解一元二次方程的方法称为公式法. 经典题型精讲 (一)开平方法 例1.利用开平方法解下列方程： (1) ； (2) ； (3) . 举一反三：说出下列方程的根： (1) (2) (3) (4) (5)