专题03 17.3 一元二次方程根的判别式-2020-2021学年初中数学截拳道（沪教版）

17.3 一元二次方程根的判别式 知识概要 1.根的判别式 在推导一元二次方程 的求根公式时，我们得到 . 我们发现，一元二次方程是否有实数根或者实数根的情况具体如何，关键在于 .因此，我们把 叫做一元二次方程 的根的判别式，用符号“ ”表示，读作“ ” (1)当 时，一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ； (2)当 时，一元二次方程有两个相等的实数根， ； (3)当 时，一元二次方程没有实数根. 显然，上述结论，反过来亦成立. 2.根的判别式的应用 判别式是判别一元二次方程有无实数根的主要方法.从判别式与零的大小关系上，有两个相等与不相等的实数根，还有无实数根三种情况，合理地运用这种关系，能够巧妙地解决某些方程问题、不等式问题、最值问题以及字母参数的取值范围问题等. 经典题型精析 (一)根的判别式 例1.不解方程，判断下列关于 (或 )的方程的根的情况： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) . 试一试：不解方程，判断下列方程的根的情况： (1) ； (2) ； (3) . 例2.在关于 的一元二次方程 中， 为何值时，方程有两个相等的实数根?并求出这两个实数根. 试一试：当 取何值时，关于 的方程 (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (2)没有实数根? 例3.当 为何值时，关于 的方程 有实数根? 试一试：关于 的方程 (其中 )一定有实数根吗?为什么? 例4.当 为何值时，关于 的方程 有实数根?并求出这时方程的根(用含 的代数式表示). 例5.若关于 的一元二次方程 无实数根.求证：一元二次方程 一定有两个不相等的实数根. 例6.若 为实数，关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，求证： . 试一试：求证：无论 取何值，方程 都有两个不相等的实根。 例7.已知 是 的三条边，关于 的一元二次方程 有两个相等的实根. (二)根的判别式的应用 例8.求方程 的实数解. 例9.求代数式 的最大值与最小值. 举一反三：求代数式 的最大值与最小值。 例10.已知 都是实数，证明： . 例11.已知二次三项式 是一个完全平方式，试求 的值. 或 能力提升 1.一元二次方程 的根的判别式_____