专题八：多边形内外角综合类问题强化（2）-----探究类问题解析-2020-2021学年八年级数学初二上学期专题突破（人教版）

专题八：多边形内外角综合类问题强化（2）-----探究类问题解析（带答案） 知识指引 对于探究型的问题，由于问题目标不明确，具有很强的探索性，解题时需要运用动态思维、数形结合、模型思想、特殊与一般相结合、转化思想和化归思想、必要时进行分类讨论，从变化中寻找不变性的数学思想方法、逻辑推理与合情猜想相结合等思想方法．理解题意，借助相关的概念、图形的性质，把问题化归与转化为相应的数学模型进行分析与突破。[来源:Zxxk.Com] · 类型展台： 1．结论探索型----“分类讨论” 这类问题的结论或不唯一、或不确定、或需要通过类比、引申、推广、归纳、总结出一般结论，这类问题的解题策略主要使用综合法，常用分类讨论的思想方法，根据题设条件，验证假设结论或探索结论，对于没有给出假设的结论的开放型问题，要大胆猜想结论，科学验证; 2．存在性探索型----“假设存在”“ 这类问题的基本特点是：在一定的条件下，判断某种数学结论是否存在，此类问题的关键词是：“是否存在-----使-----（存在）”，解决此类问题的策略是先假设需要探索的对象存在，从题设条件和假设出发进行运算或推理，若由此推出矛盾，则否定存在；若不出现矛盾，则肯定存在，然后给出证明，有时也需要区别不同情况加以分类. · 知识点睛： 注意数形结合，多角度，全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻求数量关系和位置关系； 1． 注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化； 2． 注意掌握常规的证题思路，常规的辅助性的添加方法，使得条件得以凸显或分散； 4．注意灵活地运用数学的思想和方法 总之，在处理与角度有关的这类探究型问题时，关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算和证明有机的融合起来，达到问题的解答. 典型例题 例1．如图， AE, DE、 BF、 CF 分别是四边形 ABCD（四边不相等）的内角角平分线，AE、 BF 交于点 G， DE、 CF 交于点 H． （1）探索∠FGE 与∠FHE 有怎样的数量关系，并说明理由． （2）∠FGE 与∠FHE 有没有可能相等？若相等，则四边形 ABCD 的边有何结论？请说明理由． 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠GAB＝∠DAB，∠GBA＝∠CBA，求得∠FGE＝∠AGB＝180°−∠GAB−∠GBA＝180°−∠DAB＋∠CBA），同理，∠FHE＝180°−∠ADC＋∠BCD），两式相加即可得到结论； （2）当∠FGE＝∠FHE时，求得∠DAB＋∠CBA＝∠ADC＋∠BCD，根据四边形的内角和即可得到结论． 【详解】（1）∠FGE＋∠FHE＝180°， 理由：∵AE平分∠BAD，BF平分∠ABC， ∴∠GAB＝∠DAB，∠GBA＝∠CBA， ∴∠FGE＝∠AGB＝180°−∠GAB−∠GBA＝180°−（∠DAB＋∠CBA）， 同理，∠FHE＝180°−（∠ADC＋∠BCD）， ∴∠FGE＋∠FHE＝360°−（∠DAB＋∠CBA＋∠ADC＋∠BCD）＝180°； （2）∠FGE与∠FHE可能相等，此时，AD∥BC， ∵∠FGE＝180°−（∠DAB＋∠CBA），∠FHE＝180°−（∠ADC＋∠BCD）， 当∠FGE＝∠FHE时，180°−（∠DAB＋∠CBA）＝180°−（∠ADC＋∠BCD）， 即∠DAB＋∠CBA＝∠ADC＋∠BCD， ∵四边形的内角和＝360°， ∴∠DAB＋∠CBA＝∠ADC＋∠BCD＝180°， ∴AD∥BC． 例2．已知在四边形ABCD中，∠A=x，∠C=y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）． （1）∠ABC+∠ADC=_____（用含x、y的代数式表示）； （2）如图1，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由． （3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角， ①当x＜y时，若x+y=140°，∠DFB=30°试求x、y． ②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在． 【分析】 （1）利用四边形内角和定理得出答案即可；（2）利用角平分线的性质结合三角形外角的性质得出即可；（3）①利用角平分线的性质以及三角形内角和定理，得出∠DFB=y-x=30°，进而得出x，y的值；②当x=y时，∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行，此时∠DFB不存在． 【详解】 （1）∵四边形内角和为（4-2）×180°=360°， ∴∠ABC+∠ADC=360°-x-y， 故答案为360°-x-y (2)DE⊥BF，理由如下： 如图：延长DE交BF于G， ∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC， ∴∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM， ∵x=y=90°，