专题三：利用“边角边”（SAS）定理证明三角形全等-2020-2021学年八年级数学初二上学期专题突破（人教版）

专题三：利用“边角边”（SAS）定理证明三角形全等（无答案） 知识指引 对于一个三角形来说，它有9大元素：三边，三角，三顶点。其中三角来定其形状，三边来定其大小，顶点来确定其位置，当一个三角形的三边长固定时，其形状就会具体，因此依据两边及其夹角可以确定唯一的三边形，借此可以用来证明三角形全等 · “边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）[来源:学科网] 图形分析： 书写格式： 在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF（SAS） · 知识指引： （1）定理分析：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （2）思路把握：如何找取两边与其夹角之间的对等关系是利用边角边（SAS）定理的关键 （3）方法指引：在做几何题时，我们可以借助对图形的标注来梳理信息，进而把条件直观化 · 方法点睛： （1）因为边长能定三角形的大小，因此要证三角形全等需要找3组条件，其中必须有一组对应边相等，从而可以确定三角形三个顶点中的两个． （2）说明两个三角形全等时，应注意紧扣判定的方法，找出相应的条件，同时要从实际图形出发，弄清对应关系，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 典型例题 类型一：利用“SAS”判定两个三角形全等[来源:学科网ZXXK] 【例1】如图，A，D，F，B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC．求证：△AEF≌△BCD． [来源:Zxxk.Com] 【分析】由AE∥BC，可得∠A=∠B，再由AD=BF，可得AD+DF=BF+FD，即AF=BD，结合AE=BC，利用SAS可证△AEF≌△BCD． 类型二：利用“SAS”的判定三角形全等并用全等的性质解决问题 【例2】已知BD，CE分别是△ABC的边AC，AB上的高，P在BD的延长线上，且BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．求证： （1）AP=AQ ；（2）AP⊥AQ． 【分析】（1）由于BD⊥AC，CE⊥AB，可得∠ABD=∠ACE，又有对应边的关系，进而得出△ABP≌△QCA; （2）在（1）的基础上，证明∠PAQ=90°即可． 强化练习 1．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3的度数为(　 ) ． A．60° B．55° C．50° D．无法计算 2.如图，将两根钢条AA′、BB′的中点 O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是 ． 3．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3= ． 4.如图，AD=BD，AD⊥BC，垂足为D，BF⊥AC，垂足为F，BC=6cm，DC=2cm，则AE= cm． 5.如图，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=42°，则∠AEB= ． [来源:学科网] 6.如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3= ． 7.如图，Rt△ABC中，∠C=90°．E为AB中点，D为AC上一点，BF∥AC交DE的延长线于点F．AC=6，BC=5．则四边形FBCD周长的最小值是______． 8．如图，AB与CD相交于点E，AE＝CE，DE＝BE.求证：∠A＝∠C. 9．如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC．求证：BC∥EF． 10．如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC，求证：AE⊥BD. 11．如图，A，F，C，D四点在一直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE，求证：∠CBF=∠FEC． [来源:学#科#网] 12.已知，如图在△ABC中，AC=BC，AC⊥BC，直线EF交AC于F，交AB于E，交BC的延长线于D，且CF=CD，连接AD、BF，则AD与BF之间有何关系？请证明你的结论． 13．如图，线段AD、BE相交与点C,且△ABC≌△DEC，点M、N分别为线段AC、CD的中点．求证： （1）ME=BN；（2）ME∥BN． 14．如图（1），△ABC和△EDC中，D为△ABC边AC上一点，CA平分∠BCE，BC＝CD，AC＝CE． （1）求证：∠A＝∠CED； （2）如图（2），若∠ACB＝60°，连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H． ①求∠DHF的度数； ②若EB平分∠DEC，试说明：BE平分∠ABC． $$ 专题三：利用“边角边”（SAS）定理证明三角形全等（有答案） 知识指引 对于一个三角形来说，它有9大元素：三边，三角，三顶点。其中三角来定其