苏科版九年级数学下对一类动点路径长度问题的探究

对一类动点路径长度问题的探究 一、真题再现 如图1 所示，在矩形 中， ， ，点 是对角线 上的一个动点，连结 .以 为斜边作 的 ，使点 和点 位于 两侧，点 从点 到点 的运动过程中，点 的运动路径长是 . 这是一道求动点轨迹长间题.这一类问题通常是寻找第二个动点的起点和终点，再由全等或者相似得以解决.那么，动点轨迹长问题的本质是什么?怎样才能让这类问题的解决思路自然生成呢? 二、变式思考 问题 如图2，等边 的边长为4 cm.动点 从点 出发，沿射线 方向移动，以 为边作等边 ，在点 从点 开始移动至点 的过程中，求点 移动的路径长. 分析 如图2，连结 .由 和 全等，可得到 ，则点 运动的路径长就是点 运动的路径长，即路径长为4. 变式1 如图3，等边 的边长为4 cm.动点 从点 出发，沿射线 方向移动，以 为边作等腰 ，且 .在点 从点 开始移动至点 的过程中，求点 移动的路径长. 分析 变式1是将“问题”中的等边 改成等腰三角形，且顶角为120°，我们只须将 绕 点逆时针旋转120°得到 ，连结 (如图3)，可以证明 和 全等，从而点 运动的路径长就是点 运动的路径长，即路径长为4. 变式2 如图4，等边 的边长为4 cm.动点 从点 出发，沿射线 方向移动，以 为边作 ，且 .在点 从点 开始移动至点 的过程中，求点 移动的路径长. 分析 变式2是将“问题”中的等边 改为 ，且 .由 ，我们将 绕 点逆时针旋转90°，并且扩大到 的 倍，得到 ，连结 (如图4).可以证明 ，且相似比为1： ，从而点 运动的路径长就是点 运动的路径长的 倍，即路径长为 . 变式3 如图5， 中， cm.动点 从点 出发，沿射线 方向移动， 且 为定角. 在点 从点 开始移动至点 的过程中，求点 移动的路径长. 分析 变式3将“问题”中的等边三角形改为普通三角形， 不变， 大小确定，而 .我们可以将 绕点 逆时针旋转 的度数，并且长度缩小到原来的一半，得到 ，连结 (如图5).可以证明 ，且相似比为2: 1，从而点 运动的路径长也就是点 运动的路径长的一半，即路径长为2. 三、数学模型 如图6，点 是定点， 是动点。若 ，当点 在直线 上运动时，点 运动的路径长是