苏科版九年级数学下对一道中考题的解法探究

对一道中考题的解法探究 一、试题呈现 题目 ( 2019年温州中考题)三个形状大小相同的菱形按如图1所示方式摆放.已知 ，菱形的较短对角线长为2cm.若点 落在 的延长线上，则 的周长为 cm. 此题是以三个菱形为背景，等腰直角三角形为依托，并渗透了相似、全等、勾股定理等知识点.本文从多个角度探求此题的解法，愿与各位同仁共同分享。 二、解法探究 由 三点共线及菱形的条件，易证 是等腰直角三角形，进而可知菱形的锐角是45°.由此可构造出“A字型”相似或“三垂直模型”等基本几何图形，将不熟悉的图形转化为熟悉的图形，这样就可以将问题化繁为简、化未知为已知。 1.相似法 解法1 如图2，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 . 设 ， 则 ， ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 解得 . ∴ . 由勾股定理得， ， ∴ 的周长为 cm. 解法2 如图2 . ∵ ， EMBED Equation.DSMT4 ， ∴ 是等腰直角三角形. 设 ， 则 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 解得 . ∴ . 由勾股定理得， ， ∴ 的周长为 cm. 评注 这两种解法本质上都是构造“ 字型”相似，其目的是借助相似比求出关键线段——菱形较长的对角线的长度. 2.等积法 解法3 如图3，连结 交 于点 . 由解法2，知 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 设 ， 则 ， . 在 中，由勾股定理得， ， 解得 . ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 由勾股定理得， ， ∴ 的周长为 cm. 评注 此法是抓住菱形面积的两种表示法建立等量关系.其中 是解决问题的关键. 3.解析法 解法4 如图4，建立平面直角坐标系. 设点 ， 则点 ，点C ， ∴ ， . ∵ 三点共线， ∴ ， 即 ， 解得 . ∴ . 由勾股定理得， ， ∴ 的周长为 cm. 评注 解法4的关键是抓住“特殊角” ，这是建立直角坐标系的切入口，更是把几何问题代数化的“脚手架”.由 三点共线建立相等关系而获解. 4.三角法 如图5，可得 . 解法5 如图6，由解法3，知 。 ∴ ， ∴ . 由勾股定理得， ，