苏科版九年级数学下对一道几何综合题的深层次思考

对一道几何综合题的深层次思考 杭州市数学中考试卷中的第23题是一道几何综合题，具有综合、创新、解法多样的特点，其中该题的第(2)小题难住了很多考生，这引起了笔者的兴趣和思考.下面笔者就该题的第(2)小题谈谈自己的一些看法和思考，以求抛砖引玉，请各位专家、数学同仁不吝赐教! 一、原题呈现 如图1，锐角 内接于⊙ ( )， 于点 ，连结 . (1)若 ①求证: ； ②当 时，求 面积的最大值. (2)点 是 上一点，且 ，记 ， ( 是正数)，求证: . 二、解法探索 这道题是以圆的知识为背景的几何综合题，主要考查圆的基本性质、等边三角形的性质和判定、三角形面积等知识.此题起点低、层次分明，特别是第(2)小题，具有创新、综合、灵活、解法多样等特点，给不同层次学生都提供了可能.现对其主要解法分析如下. 解法1 如图2，连结 . 设 ， . ∵ 为锐角三角形， ∴ . ∴ .① 又∵ ， ∴ 。 ∵ ， ∴ .② 由①和②，得 ， ∴ .(参考答案) 解法2 如图3，延长 交⊙ 于 ，连结 . ∵ ， ∴ 垂直平分 ， ∴ . 设 , ∴ ， . ∵ , ∴ . 又∵ ， ∴ , 即 ， ∴ . 解法3 如图4，延长 交⊙ 于 . 设 ， 则 ， . ∴ ， . 在 中， ， ∴ ， ∴ . ∵ ∴ . ∵ ， 即 ， ∴ . 解法4 如图5，连结 . 设 ， ， 则 ， . ∴ ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ ， ∴ 即 . 解法5 如图6，延长 交 于 ，交 于 ，连结 . 设 ， 则 ， . ∴ ∴ . ∵ ， 即 ， ∴ . ∵ 是直径， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ . 解法6如图7，延长 交 于点 . ∵ ， ∴ ， ， ， . ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， 即 ， ∴ ， ∴ . 解法7 如图8，延长 交⊙ 于点 ，连结 ，过点 作 于点 . ∵ ， ∴ ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∵ 是直径， ∴ . ∴ ， ∴ . ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ . 解法8 如图9，延长 交 于点 ， 则 EMBED Equation.DSMT4 ， ∴ ， . ∵ ， ∴ .