苏科版九年级数学下圆内接四边形面积最大值的探究

圆内接四边形面积最大值的探究 数学解题教学中，特殊法是常用的一种思想方法.比如，“问道于零”可以解决实数的很多是非判断题，特值法是解决代数式问题常用的方法，在解决图形问题时常常脱口而出“中点法”——倍长中线，遇见中点找中点，中点相连中位线…教材编写的体例也是遵循这一原则，比如四边形→平行四边形→特殊平行四边形.从平时的教学来看，绝大部分学生已经把这当作研究和解决问题的“常规思维”，中考复习教学时，笔者总是要求自己和学生在此基础上再经历一个由特殊到一般的过程，感觉对问题的分析更深入，方法的衍生更具有生长的空间，收获很大.本文介绍一类圆内接四边形面积最大值的探究过程，希望得到同行的批评指正. 一、问题呈现 如图1，在⊙ 中， ，求圆内接四边形 面积的最大值. 解析 如图2，连结 ，由条件易得 ， ，则 . 要使四边形 的面积最大，只需 的面积最大，即点 是弦 的中垂线与圆的交点. 此时， 三点共线，四边形 面积的最大值为 . 反思 本题的关键是发现对角线 为定值，再将四边形面积的最大值问题转化为圆上的点到直线距离的最大值问题.但 这个条件太强，于是笔者从边长和角度两方面对条件进行弱化，并由此得到了两个与圆内接四边形面积最大值有关的结论. 二、条件变式 变式1 如图3，⊙ 是四边形 的外接圆，半径为 ，且 ，求四边形 面积的最大值. 解析 如图4，连结 ，因为弦 和 已知，则 ， ， 也随之确定，所以弦 是定值. 那么，解题思路与原题相同，当点 是 中垂线与圆的交点，即 时，四边形 的面积最大. 那么，如何计算此时的最大面积呢? 思路1 先分别求出 和 的面积再相加.但 如果不是特殊值， 和 就不是特殊角，那么 的计算过程会特别复杂，所以不适用. 思路2 根据前面的分析，当四边形 面积最大时，有 ，即 平分 . 常规的辅助线是作旋转.如图5，连结 ，将 绕点 逆时针旋转，使得 与 重合，与 拼接成等腰三角形 ，且 .此时四边形的最大面积等于 的面积，但同样因为 的非特殊性，使得 不是特殊角，从而导致面积求解困难，所以此方法也不适用. 思路3 在同圆或等圆中，除了等弧所对的弦相等外，平行弦所夹的弧相等，则所夹的弦也相等. 于是笔者再次尝试.如图6，