专题六：多边形角度知识学习（2）-------不规则多边形问题的探究-2020-2021学年八年级数学初二上学期专题突破（人教版）

专题六：多边形问题知识学习（2）-------不规则多边形问题的探究（带答案） 知识指引 不规则多边形的内角求值问题一般是指凹多边的条件或环境下来处理，这类多边形可以通过适当的转化，添加或连接相应的线段，使得凹多边转化为凸多边形，再利用三角形或四边形的有关知识进行探究，让学生在学习新知识时能将其转化为已学知识进行探究，着眼于学生能力的培养，对数学思想方法的感受、领悟、应用． · 类型展台： [来源:Zxxk.Com] · 不规则多边形的角度求值问题 (1)问题导引：不规则多边形的角度求值问题要转化为相应的三角形（四边形）的内角或外角求值问题 (2)操作方法：添加或连接相应的线还原为直观的三角形、四边形或规则的凸多边形[来源:学科网ZXXK] (3)角度归位：利用三角形或多边形的内外角定理来处理相相应的角度求值 (4)整体思想：把角度进行适当的和差，注意整体思想的运用 典型例题 类型一：规形图的角度求值问题 例1．探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这种图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？请解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究∠BPC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下问题： ①如图2：已知△ABC，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，直接写出∠BPC与∠A之间存在的等量关系为： ． 迁移运用：如图3：在△ABC中，∠A=80°，点O是∠ABC，∠ACB角平分线的交点，点P是∠BOC，∠OCB角平分线的交点，若∠OPC=100°，则∠ACB的度数 ． ②如图4：若D点是△ABC内任意一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．直接写出∠BDC、∠BPC、∠A之间存在的等量关系为 ． 【分析】（1）可连接AP并延长至F，然后依据外角的性质即可得到答案； （2）①利用角平分线的定义，三角形的内角和定理证明。迁移运用：设∠BCP=∠PCO=x，∠BOP=∠COP=y，由∠P=100°，可推出x+y=80°，进而得到2x+2y=160°，得到∠OBC和∠ABC，从而得到答案； ②根据角平分线的定义及四边形的内角和即可得到结论 解析：(1)如图，连接AP并延长至点F， 根据外角的性质，可得 ∠BPF=∠BAP+∠B，∠CPF=∠C+∠CAP， 又∵∠BPC=∠BPF+∠CPF，∠BAC=∠BAP+∠CAP， ∴∠BPC=∠A+∠B+∠C； (2)①结论：∠BPC=90°+∠A． 理由：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB， ∴∠BPC=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠A)=90°+∠A； 迁移运用：设∠BCP=∠PCO=x，∠BOP=∠COP=y， ∵∠P=100°， ∴x+y=80°， ∴2x+2y=160°， ∴∠OBC=180°-160°=20°， ∵BO平分∠ABC， ∴∠ABC=40°， ∵∠A=80°， ∴∠ACB=180°-40°-80°=60°； 故答案为：∠BPC=90°+∠A，60°； ②∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD， ∴∠PBD=∠ABP，∠PCD=∠ACP， 四边形BPDC中，∠P+∠ABD+∠ACD+360°-∠D=360°， ∴∠ABD+∠ACD=∠D-∠P， 在四边形ABPC中，∠A+∠ABD+∠ACD+360°-∠P=360°，[来源:Zxxk.Com] ∴∠A+∠D-∠P-∠P=0．∴2∠BPC=∠BDC+∠A．故答案为：2∠BPC=∠BDC+∠A． 类型二：8字图的角度求值问题 例2、如图①，已知线段AB、CD相交于点O，连结AC、BD，我们把形如图①的图形称之为“8字形”．如图②，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题： (1)仔细观察，在图②中有___个以线段AC为边的“8字形”； (2)在图②中，若∠B＝96°，∠C＝100°，求∠P的度数； (3)在图②中，若∠CAP＝∠BAC，∠CDP＝∠BDC，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系，并说明理由； (4)如图③，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为____． 【分析】（1）以M为交点的“8字形”有1个，以O为交点的“8字形”有2个； （2）根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P=（∠C+∠B），然后把∠C=100°