专题七：多边形内外角综合类问题强化（1）--有关角度的基本计算-2020-2021学年八年级数学初二上学期专题突破（人教版）

专题七：多边形内外角综合类问题强化（1）--有关角度的基本计算（带答案） 知识指引 对于多边形有关的角度求值的综合类问题，往往转化为较为直观的三角形或规则的四边形及相应的多边形去处理，尝试在处理问题时，对相应的条件及对应的知识进行溯源，回顾平时所练习的类型或例题，进行知识的迁移和转化，是处理综合类问题的解题原则和方向 · 辅助线方法指引 1. 为了解决几何问题，在原图基础之上另外添加的直线或线段称为辅助线．辅助线通常画成虚线． 2. 辅助线的原则：添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已知和未知之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况． 3. 辅助线的作用： 1 把分散的条件转为集中； 2 把复杂的图形转化为基本图形． 4．添加辅助线的注意事项：明确目的，多次尝试 典型例题 类型一：利用多边形的内角和进行基本的计算 例1．在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°. （1）如图1，若∠B=∠C，求∠C的度数； （2）如图2，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，求∠C的度数． 【分析】（1）根据四边形的内角和是360°进行求解即可； （2）先根据平行线的性质求出∠ABE和∠DEB的度数，再由角平分线求出∠EBC的度数，最后在△EBC中利用三角形的内角和定理求出∠C即可． 【解答】（1）∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠B＝∠C， ∴∠C＝=＝70°. （2）∵BE∥AD， ∴∠BEC＝∠D＝80°， ∠ABE＝180°－∠A＝180°－140°＝40°. 又∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC＝∠ABE＝40°. ∴∠C＝180°－∠EBC－∠BEC＝60°. 类型二：利用整体思想来处理与角平分线有关的角度问题 例2．如图，四边形ABCD中，设∠A=α，∠D=β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE 的平分线所在直线相交而形成的锐角. （1）如图1，若α+β＞180°，求∠P的度数（用α，β的代数式表示）. （2）如图2，若α+β＜180°，请在图2中画出∠P，并求得∠P= （用α，β的代数式表示）.[来源:学+科+网Z+X+X+K] [来源:学科网ZXXK] 【分析】根据四边形的内角和为360°，得出∠ABC+∠DCB=360°－（α+β），由内角平分线和外角平分线的定义可得∠ABC+（180°－∠DCE）=360°－（α+β）=2∠PBC+（180°－2∠DCP）=180°－2（∠DCF－∠FBC）=180°－2∠P，进而得到结论 【详解】（1）∵∠A=α，∠D=β，∴∠ABC+∠DCB=360°－（α+β），∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴ABC+（180°－∠DCE）=360°－（α+β）=2∠PBC+（180°－2∠DCP）=180°－2（∠DCF－∠FBC）=180°－2∠P， ∴360°－（α+β）=180°－2∠P，∴∠P=（α+β）－90° （2）画图如图所示： ∵∠ABC+∠DCB=360°－（α+β），∴∠ABC+(180°－∠DCE)=360°－（α+β）=2∠GBC+（180°－2∠HCE）=180°＋2（∠GBC－∠HCE）=180°＋2∠P.∴360°－（α+β）=180°＋2∠P，∴∠P=90°－（α+β） 强化练习 1.如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA等于（　　）. A. 30° B. 36° C. 45° D. 32° 【答案】B 2．如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M、N分别是BA、CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∠F的度数为（　　） A．120° B．135° C．150° D．不能确定 【详解】∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°． ∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F， ∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°． ∵AE⊥DE， ∴∠EAD+∠EDA=90°， ∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°， ∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°． 故选B． 3.如图，已知四边形ABCD中，∠C=72°，∠D=81°．沿EF折叠四边形，使点A、B分别落在四边形内部的点A′、B′处，则∠1+∠2=________． 答案:54° [来源:学,科,网Z,X,X,K] 解析:由题意得：∠1+∠2+∠FEA′+∠EFB′+∠D+∠C=360°， 又∵∠C=72°，∠D=81°， ∴∠FEA′+∠EFB′+∠1+∠2=207°； 又∵∠AEF+∠BFE+∠FEA′+∠EFB′+∠1+∠2=360°，四边形A′B′FE是四边形ABEF翻转得到的， ∴∠F