专题二：三角形内外角综合运用（1）----角度基本计算练习类问题-2020-2021学年八年级数学初二上学期专题突破（人教版）

专题二：三角形内外角综合运用（1）----角度基本计算练习类问题（带答案） 知识回顾 三角形的内角和定理是计算角的度数的重要依据，依据角在三角形内角和为180°以及对平行线、平角、三角形中三线相关知识的应用和深化，进行角度的计算是今后学习多边形内角和、外角和等知识的基础，具有承上启下的作用。 · 知识点睛：三角形的内角和为180°. ∠A＋∠B＋∠C=180°. 引申：①直角三角形的两个锐角互余； ②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角； ③一个三角中至少有两个内角是锐角。 · 知识点睛：三角形的外角的性质 ∠CBD（外角）+∠ABC（相邻内角）=180° 由此可知三角形的外角有如下结论： 结论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和——常用来求角度； 结论2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角——常用来比较角的大小； 结论3：三角形的外角和等于360°． 典型例题 类型一：利用三角形的内外角来处理一般的角度求值问题 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E. (1)求∠CBE的度数；[来源:学&科&网Z&X&X&K] (2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可求得∠ABC=50°，再由邻补角的定义求出∠CBD的度数，进而求得∠CBE的度数; （2）根据三角形外角的性质求得∠CEB=25°，再利用平行线的性质可求出∠F的度数. 【解答】(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°， ∴∠ABC＝90°－∠A＝50°.∴∠CBD＝130°. ∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝65°. (2)∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°－65°＝25°. ∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°. 类型二：利用三角形的内外角来处理较复杂的角度证明问题 【例2】如图，CA平分∠DCE，且与BE的延长线相交于点A. （1）若∠A＝35°，∠B＝30°，则∠BEC＝ ；(直接在横线上填写度数) （2）小明经过改变∠A，∠B的度数进行多次探究，得出∠A，∠B，∠BEC三个角之间存在固定的数量关系，请你用一个等式表示出这个关系，并进行证明． 【分析】（1）依据三角形外角性质，即可得到∠ACD=∠A+∠B=65°，依据AC平分∠DCE，可得∠ACE=∠ACD=65°，进而得出∠BEC=∠A+∠ACE=35°+65°=100°； （2）依据AC平分∠DCE，可得∠ACD=∠ACE，依据三角形外角性质可得∠BEC=∠A+∠ACE=∠A+∠ACD，根据∠ACD=∠A+∠B，即可得到∠BEC=∠A+∠A+∠B=2∠A+∠B． 【解答】（1）∵∠A=35°，∠B=30°，∴∠ACD=∠A+∠B=65°． 又∵AC平分∠DCE，∴∠ACE=∠ACD=65°． ∴∠BEC=∠A+∠ACE=35°+65°=100°．故答案为：100°； （2）∠BEC＝2∠A＋∠B，理由如下： ∵CA平分∠DCE，∴∠ACD＝∠ACE． ∵∠BEC＝∠A＋∠ACE＝∠A＋∠ACD，∠ACD＝∠A＋∠B， ∴∠BEC＝∠A＋∠A＋∠B＝2∠A＋∠B. 基础强化练习 1．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE．若∠ABC=30°，则∠D的度数为（ ）． A．85° B．75° C．60° D．30° 【解析】∵AB∥CD，∴∠C=∠ABC=30°，又∵CD=CE，∴∠D=∠CED，∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，∴∠D=75°．故选B． 2．在△ABC中，如果∠B－2∠C＝90°－∠C，那么△ABC是（　　）． A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 【解析】由∠B－2∠C＝90°－∠C可得：∠B＝∠C+90°＞90°， 所以三角形是钝角三角形；故选：B． 3.如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，则∠ADB的度数为（　　） A． 40° B． 60° C． 80° D． 100° 答案：D． 4．如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，F为CA延长线上的一点，FG∥CE，交AB于点G，若∠1=70°，∠2=30°，则∠3的度数为（　　）． A.30° B.40° C.45° D.70° 答案：B 5．如图，在△ABC中，BC边不动，顶点A竖直向上运动，则此三角形的内角和将_______ （填“增大”、“减小”或“不变”）． [来源:学科网]