专题三：与三角形角度有关的结论型探究类问题解析-2020-2021学年八年级数学初二上学期专题突破（人教版）

专题三：与三角形角度有关的结论型探究类问题解析(带答案) 知识指引 结论型探究问题探究型问题是指命题中无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题，该类问题的知识覆盖面较大，综合性较强，考点灵活、方法要求较高，题意新颖，构思精巧，具有一定的深度和难度，在解决问题时要对基础知识的全面性有一定的要求，尤其是在平时的训练中要加大对此类问题的训练，解题时注意各知识点之间的因果联系，选择较为合适的解题途径完成相应的解答，在处理此类问题时，一般可以从以下几方面进行入手：[来源:学*科*网Z*X*X*K] 1． 利用特殊值法（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳，概括、从特殊到一般，从而特殊规律； 2． 反演推理法（反证法），即假设结论成立，根据题设进行推理，看是推导出矛盾还是与已知条件; 3． 分类讨论法，当命题的题设与结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到即不重复也不遗漏，分门别类加以探讨求解，将不同的结论综合归纳得出正确结论; 4． 类比猜想法，既由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证. · 类型展台： 1．结论探索型----“分类讨论” 这类问题的结论或不唯一、或不确定、或需要通过类比、引申、推广、归纳、总结出一般结论，这类问题的解题策略主要使用综合法，常用分类讨论的思想方法，根据题设条件，验证假设结论或探索结论，对于没有给出假设的结论的开放型问题，要大胆猜想结论，科学验证; 2．存在性探索型----“假设存在”“ 这类问题的基本特点是：在一定的条件下，判断某种数学结论是否存在，此类问题的关键词是：“是否存在-----使-----（存在）”，解决此类问题的策略是先假设需要探索的对象存在，从题设条件和假设出发进行运算或推理，若由此推出矛盾，则否定存在；若不出现矛盾，则肯定存在，然后给出证明，有时也需要区别不同情况加以分类. · 知识点睛： 注意数形结合，多角度，全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻求数量关系和位置关系； 1． 注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化； 2． 注意掌握常规的证题思路，常规的辅助性的添加方法，使得条件得以凸显或分散； 4．注意灵活地运用数学的思想和方法 总之，在处理与角度有关的这类探究型问题时，关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算和证明有机的融合起来，达到问题的解答. 典型例题 类型一：与角度有关的结论型探究问题 【例1】在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D； （1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数； （2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C－∠B有怎样的数量关系？并说明理由． （3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C－∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由． [来源:学,科,网] 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得∠BAC=100°，∠CAD=40°，由角平分线的性质易得∠EAC的度数，进而求得∠EFD；[来源:Zxxk.Com] （2）由角平分线的性质和三角形内角和定理可得∠BAE=90°－（∠C＋∠B），再由外角的性质可得∠AEC=90°+（∠B－∠C），在△EFD中，由内角和定理可求得∠EFD的度数； （3）方法同（2）. 【解答】（1）∵∠C=50°，∠B=30°，∴∠BAC=180°－50°－30°=100°． ∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=50°． 在△ACE中,∠AEC=80°， 在Rt△ADE中,∠EFD=90°－80°=10°． （2）∠EFD=（∠C－∠B），理由如下： ∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=（180°－∠B－∠C）=90°－（∠C+∠B）． ∵∠AEC为△ABE的外角， ∴∠AEC=∠B+90°－（∠C+∠B）=90°+（∠B－∠C）． ∵FD⊥BC， ∴∠FDE=90°． ∴∠EFD=90°－90°－（∠B－∠C）． ∴∠EFD=（∠C－∠B）． （3）∠EFD=（∠C－∠B），理由如下：如图， ∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=（180°－∠B－∠C）． ∵∠DEF为△ABE的外角，∴∠DEF=∠B+∠BAE =90°+（∠B－∠C）， ∵FD⊥BC，∴∠FDE=90°． ∴∠EFD=90°－90°－（∠B－∠C）．∴∠EFD=（∠C－∠B）． 类型二：与角度有关的条件型探究问题 【例2】在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F． （1）如图1，当AE⊥BC时，求证：DE∥AC （2）若∠C＝2∠B，∠BAD＝x（0°＜x＜60°） ①如图2，当DE⊥BC时