专题四：三角形内外平分线所成角度问题的探究-2020-2021学年八年级数学初二上学期专题突破（人教版）

专题四：三角形内外平分线所成角度问题的探究(带答案) 知识指引 · 知识回顾：角的平分线： 如图，BD是∠BAC的角平分线，注意在此角度之间的半倍关系 · 知识引申：与三角形有关的内外角平分线所成的角 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，CH平分∠ACI，BG平分∠EBC，CG平分∠BCF， 结论： 此外，在四边形DBGC中，还存在如下结论： (1)∠DBG=∠GCD=90°；（2）∠BDC+∠BGC=180°. 典型例题 类型一：三角形中两内角平分线所成角度 【例1】如图，在ΔABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，根据下列条件，求∠BIC的度数。 （1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，则∠BIC＝______°； （2）若∠ABC＋∠ACB＝100°，则∠BIC=___________°； （3）若∠A＝80°，则∠BIC＝_______°； （4）从上述计算中，我们能发现已知∠A=x，则∠BIC＝______. 【分析】（1）由∠ABC=40°，∠ACB=60°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，可求∠IBC、∠ICB的度数，再利用三角形内角和定理求∠BIC； （2）由∠ABC+∠ACB=100°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，可求∠IBC+∠ICB的度数，再利用三角形内角和定理求∠BIC； （3）由∠A=80°可得∠ABC+∠ACB=100°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，可求∠IBC+∠ICB的度数，再利用三角形内角和定理求∠BIC； （4）由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=180°－∠A，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，则∠IBC+∠ICB=（180°－∠A）．在△IBC中，利用三角形内角和定理求∠BIC． 【解答】（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，∴∠IBC=20°∠ICB=30°，∴∠BIC=180°－∠IBC－∠ICB=130°； （2）∵∠ABC+∠ACB=100°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I， ∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=50°. ∴∠BIC=180°－（∠IBC+∠ICB）=130°； （3）∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=100°． 又∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=50°，∴∠BIC=180°－（∠IBC+∠ICB）=130°； （4）∠BIC=90°+x．理由如下： 在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°－∠A． ∵BI、CI是△ABC内角的平分线，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∴∠IBC+∠ICB=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=（180°－∠A）． 在△IBC中，∠BIC=180°－（∠IBC+∠ICB）=180°－（180°－∠A）=90°+∠A． 即∠BIC=90°+x． 变式：在△ABC中，∠A＝100°，点D在△ABC的内部连接BD，CD，且∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD． （1）如图1，∠BDC的度数为 ； （2）如图2，延长BD交AC于点E，延长CD交AB于点F，若∠AED－∠AFD＝12°，求∠ACF的度数． 【解答】（1）∵∠A＝100°，∴∠ABC+∠ACB＝80°， 又∵∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD，∴∠CBD＝∠ABC，∠BCD＝∠ACB， ∴∠CBD+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝40°，∴∠BDC＝180°－40°＝140°．故填140°； （2）设∠ACF＝α，则∠BCD＝α，∵∠BDC＝140°，∴∠CBD＝40°－α＝∠ABD， ∵∠AED是△DCE的外角，∠AFD是△BDF的外角， ∴∠AED＝∠ACF+∠CDF，∠AFD＝∠ABE+∠BDF，[来源:学#科#网Z#X#X#K] ∴∠AED－∠AFD＝∠ACF+∠CDF－∠ABE－∠BDE＝α－（40°－α）＝12°， 解得α＝26°，∴∠ACF＝26°． 类型二：三角形中一内角与一外角所在角度问题 【例2】如图，在△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为(　D　) . A.19.2°　　　　B.8°　　　　C.6°　　　　D.3° 分析：依据角平分线的定义，结合三角形内角和定理及外角的性质可以得到答案. 变式：如图，点A，B分别在射线OM，ON上运动（不与点O重合）.若∠MON=70°，BE是∠ABN的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的