3.3.1函数的单调性与导数-湖北省通山县第一中学高中数学选修1-1导学案（无答案）

3．3.1　函数的单调性与导数 一、基础知识 预习课本P89～93，思考并完成以下问题 1．函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)＞0 f′(x)＜0 2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上 导数的 绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 比较________(向上或向下) 越小 比较________(向上或向下) 　　 注：对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明 (1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)． (2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0. 二、活学活用 求函数的单调区间 例1.求下列函数的单调区间 （1） （2） (3) 利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2) (3) (4) [注意]　如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．　　 判断或讨论函数的单调性 例2。已知函数，试讨论它的单调性。 利用导数证明或判断函数单调性的思路 利用导数求参数的取值范围 例3.（1）已知函数在区间上为增函数，求的取值范围。 （2）已知函数，若函数在其定义域内为单调函数，求的取值范围。 1．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 (1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意． (2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意． 2．恒成立问题的重要思路 (1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max. (2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min $$