招式三：过已知曲线上定点的弦的问题-终结圆锥曲线大题十个大招

招式三：过已知曲线上定点的弦的问题 例题1、已知点A、B、C是椭圆E： 上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。 解：(I) ，且BC过椭圆的中心O 又点C的坐标为。 A是椭圆的右顶点，，则椭圆方程为： 将点C代入方程，得，椭圆E的方程为 (II) 直线PC与直线QC关于直线对称， 设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为： ，即，由消y，整理得： 是方程的一个根， 即同理可得： ＝＝ ＝ 则直线PQ的斜率为定值。 练习1.已知是抛物线C：上的一点，过P作互相垂直的直线PA，PB．与抛物线C的另一交点分别是A，B. （1）若直线AB的斜率为，求AB方程； （2）设，当时，求△PAB的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据题意，得到抛物线的方程为，设，利用斜率公式以及两直线垂直的条件，整理得出，得到或，从而得到直线过原点，进而得到直线方程； （2）先证明三点共线，根据得，进而求得方程为，利用面积公式求得结果. 【详解】（1）将点坐标代入得，抛物线方程为 设，则 又，即， 得 所以或，直线方程为 （2）先证明三点共线， ， （或设方程为，与抛物线方程联立得，由韦达定理 ，，结合（1）的结论得，，即直线过定点） 所以三点共线，得 （舍去）或 所以方程为， ， 法二： 所以由得 （舍去）或 所以方程为， . 练习2：已知A(-2,0)， B(2,0)， 点P在平面内运动，。 (I) 求点P的轨迹C的方程; (II) 若点2(0,1)，M,N为轨迹C.上的两动点，.问直线MN能否过定点，若能过定点，则求出该定点坐标，若不能过定点则说明理由. 解答:(I )设P(x,y),y≠0,则, 所以，点P的轨迹方程：（y≠0） （II）设M(,),N(,),MN:y=kx+m代入： 即 又m≠1，∴4m+2=0 ∴m=,y=kx-, ∴过定点（0，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 $$