招式四：共线向量问题-终结圆锥曲线大题十个大招

招式四：共线向量问题 1：如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E.I）求曲线E的方程；II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足，求的取值范围. 解：（1）∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM| 又∴动点N的轨迹是以点 C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为 焦距2c=2. ∴曲线E的方程为 （2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为 得设 ， 又当直线GH斜率不存在，方程为 2：已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线交椭圆C于、两点，交轴于点，若， ，求证：. 解：设椭圆C的方程为 （＞＞）抛物线方程化为，其焦点为， 则椭圆C的一个顶点为，即 由，∴，椭圆C的方程为 （2）证明：右焦点，设，显然直线的斜率存在，设直线的方程为 ，代入方程 并整理，得∴， 又，，，， 而 ， ，即， ∴，，所以 3、已知△OFQ的面积S=2, 且。设以O为中心，F为焦点的双曲线经过Q， ，当取得最小值时，求此双曲线方程。 解：设双曲线方程为， Q（x0, y0）。 ， S△OFQ=，∴。 =c(x0－c)=。 当且仅当， 所以。 类型1——求待定字母的值 例1设双曲线C：与直线L：x+y=1相交于两个不同的点A、B，直线L与y轴交于点P，且PA=，求的值 思路：设A、B两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求a的值。 解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,1) ∵PA= ∴x1=. 联立消去y并整理得，(1－a2)x2+2a2x－2a2=0 (*) ∵A、B是不同的两点，∴ ∴0<a<且a1. 于是x1+x2= 且x1 x2=， 即，消去x2得，=， ∴a=，∵0<a<且a1，∴a=。 类型2——求动点的轨迹 例2如图2 ，动直线与y轴交于点A，与抛物交于不同的两点B和C, 且满足BP=λPC， AB=λAC，其中。求ΔPOA的重心Q的轨迹。 思路：将向量表达式转化为坐标表达式，消去参数λ获得重心Q的轨迹方程，再运用判别式确定实数k的取值范围，从而确定轨迹的形状。 解：由得，k2x2+(2k