招式五：面积问题-终结圆锥曲线大题十个大招

招式五：面积问题 例题1、已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。 （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为。 （Ⅱ）设，。（1）当轴时，。（2）当与轴不垂直时， 设直线的方程为。由已知，得。 把代入椭圆方程，整理得， ，。 。 当且仅当，即时等号成立。当时，， 综上所述。 当最大时，面积取最大值。 例题2、已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为． （Ⅱ）设，．（1）当轴时，．（2）当与轴不垂直时， 设直线的方程为．由已知，得． 把代入椭圆方程，整理得， ，． ． 当且仅当，即时等号成立．当时，，综上所述． 当最大时，面积取最大值． 例题3、已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．（Ⅰ）设点的坐标为，证明：； （Ⅱ）求四边形的面积的最小值． 解：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故， 所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．设，，则 ，； 因为与相交于点，且的斜率为，所以，． 四边形的面积． 当时，上式取等号．（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积． 综上，四边形的面积的最小值为． 练习1.己知椭圆的离心率为，点在椭圆C上. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. ①求证：是直角三角形； ②求面积的最大值. 【答案】（1）（2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】 （1）解方程组即可； （2）①设直线PQ的斜率为k.则其方程为，联立直线与椭圆方程得到坐标，再由QG与椭圆方程联立得到G点坐标，证明斜率乘积等于即可；②利用两点间的距离公式算得的长度，将三角形的面积用k表示，再结合双勾函数的单调性即可得到答案. 【详解】（1）由题意，，，， 解得， 所以椭圆的方程为：. （2）①：设直线PQ的斜率为k.则其方程为. 由，得. 记，则，，. 于是直线