招式六：弦或弦长为定值、最值问题-终结圆锥曲线大题十个大招

招式六：弦或弦长为定值、最值问题 1、已知△的面积为， （1）设，求正切值的取值范围； （2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图）， 当 取得最小值时，求此双曲线的方程。 解析：（1）设 （2）设所求的双曲线方程为 ∴，∴ 又∵，∴ 当且仅当时，最小，此时的坐标是或 ，所求方程为 2、已知椭圆两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.（Ⅰ）求P点坐标；（Ⅱ）求证直线AB的斜率为定值；（Ⅲ）求△PAB面积的最大值. 解：（Ⅰ）由题可得，，设则，，∴，∵点在曲线上，则，∴，从而，得.则点P的坐标为. （Ⅱ）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为，则BP的直线方程为：.由得 ，设，则，同理可得，则，.所以：AB的斜率为定值. （Ⅲ）设AB的直线方程：.由，得， 由，得P到AB的距离为， 则。 当且仅当取等号∴三角形PAB面积的最大值为。 3、已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。 （I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。 解：（I） 圆过点O、F， 圆心M在直线上。 设则圆半径 由得解得所求圆的方程为 （II）设直线AB的方程为代入整理得 直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。 记中点 则 的垂直平分线NG的方程为 令得点G横坐标的取值范围为 4、已知点的坐标分别是，，直线相交于点M，且它们的斜率之积为．（1）求点M轨迹的方程；（2）若过点的直线与（1）中的轨迹交于不同的两点、（在、之间），试求与面积之比的取值范围（为坐标原点）． 解：（1）设点的坐标为，∵，∴． 整理，得（）， （2）如图，由题意知直线的斜率存在，设的方程为将①代入， 整理，得，由，解得． 设，，则令，且． ．∵且，， 解得且． ，且． 故△OBE与△OBF面积之比的取值范围是． 5、已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为． （I）求椭圆的方程； （II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值． 解析：（I）由题意得所求的椭圆方程为， （II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线