招式七：直线问题-终结圆锥曲线大题十个大招

招式七：直线问题 例题1、设椭圆过点，且着焦点为 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上 解 (1)由题意： ，解得，所求椭圆方程为 (2)方法一 设点Q、A、B的坐标分别为。 由题设知均不为零，记,则且 又A，P，B，Q四点共线，从而 于是 ， ， 从而 ，（1） ，（2） 又点A、B在椭圆C上，即 （1）+（2）×2并结合（3），（4）得 即点总在定直线上 方法二 设点，由题设，均不为零。 且 又 四点共线，可设,于是 （1） （2） 由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得 （3） (4) (4)－(3) 　　　得 即点总在定直线上 2、已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4．（1）求曲线的方程；（2）设过的直线与曲线交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程． 解：（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆， 其中，，则． 所以动点M的轨迹方程为． （2）当直线的斜率不存在时，不满足题意．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，∵，∴．∵，，∴①∴ ．由方程组得．则，，代入①，得．即，解得，或． 所以，直线的方程是或． 3、设、分别是椭圆的左、右焦点。 （Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值； （Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。 解：（Ⅰ）解法一：易知 所以，设，则 因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值 当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值 解法二：易知，所以，设，则 （以下同解法一） （Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线， 联立，消去，整理得： ∴ 由得：或 又 ∴ 又 ∵，即 ∴ 故由①、②得或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 $$