招式十：存在性问题-终结圆锥曲线大题十个大招

招式十：存在性问题 例1、设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点， （I）求椭圆E的方程； （II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点, 所以解得所以椭圆E的方程为 （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, 则△=,即 ,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且. 因为, 所以, , ①当时 因为所以,所以, 所以当且仅当时取”=”. 2 当时,. 3 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时, 综上, |AB |的取值范围为即: 2、在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．（I）求的取值范围；（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得． 整理得①直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或．即的取值范围为． （Ⅱ）设，则，由方程①，．　　　② 又．③而．所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数． 3、设、分别是椭圆的左、右焦点. （Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由. 解：易知，设P（x，y）， 则， ， ，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3； 当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4 （Ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，直线l的方程为 由方程组 依题意 当时，设交点C，CD的中点为R，则 又