招式二：动弦过定点的问题-终结圆锥曲线大题十个大招

招式二：动弦过定点的问题 若直线过的定点在已知曲线上,则过定点的直线的方程和曲线联立,转化为一元二次方程(或类一元二次方程) , 考察判断式后,韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标,进而解决问题。下面我们就通过例题领略一下思维过程。 例题1、已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求椭圆的方程； （II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论 解：（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。从而椭圆的方程为 （II）设，，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得是方程的两个根，则，，即点M的坐标为， 同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为 ，直线MN的方程为：， 令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得： 又，椭圆的焦点为，即 故当时，MN过椭圆的焦点。 例题2、已知点A、B、C是椭圆E： 上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，，如图。 (I)求点C的坐标及椭圆E的方程； (II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。 解：(I) ，且BC过椭圆的中心O 又点C的坐标为。 A是椭圆的右顶点，，则椭圆方程为： 将点C代入方程，得，椭圆E的方程为 (II) 直线PC与直线QC关于直线对称， 设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为： ，即， 由消y，整理得：是方程的一个根，即同理可得： ＝＝ ＝ 则直线PQ的斜率为定值。 方法总结：本题第二问中，由“直线PC与直线QC关于直线对称”得两直线的斜率互为相反数，设直线PC的斜率为k，就得直线QC的斜率为-k。利用是方程的根，易得点P的横坐标：，再将其中的k用-k换下来，就得到了点Q的横坐标： ，这样计算量就减少了许多，在考场上就节省了大量的时间。接下来，如果分别利用直线PC、QC的方程通过坐标变换法将点P、Q的纵坐标也求出来，计算量会增加许多。 直接计算、，就降低了计算量。总之，本题有两处是需要同学们好好想一想，如何解决此类问题，一是过曲线上的点的直线和曲线相交，点的坐标是方程组消元后得到的方程的根；二是利用直线的斜率互为相反数，减少计算量，达到节省时间的目的。 练习1、：