招式一：弦的垂直平分线问题-终结圆锥曲线大题十个大招

招式一：弦的垂直平分线问题 知识点：弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维,首先弄清楚哪个是弦,哪个是对称轴,用到的知识是:垂直(两直线的斜率之积为-1)和平分(中点坐标公式). 例题1、过点T(-1,0)作直线与曲线N ：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由. 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0. 设直线，，，. 由消y整理，得 ① 由直线和抛物线交于两点，得 即 ② 由韦达定理，得：.则线段AB的中点为. 线段的垂直平分线方程为： 令y=0,得，则 为正三角形，到直线AB的距离d为. 解得满足②式此时. 【涉及到弦的垂直平分线问题】 这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等.有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形（即D在AB的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等. 例题分析1：已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于 . 解：设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出． 例题2：已知中心在原点的双曲线的一个焦点是一条渐近线的方程是 （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围. 【解析】（Ⅰ）设双曲线C的方程为由题设得 解得.所以双曲线C的方程为 （Ⅱ）解：设直线l方程为点M，N的坐标满足方程组 ① ② 将①式代入②式，得整理得 此方程有两个不等实根，于是，且整理得 . ③ 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（）满足 从而线段的垂直平分线的方程为 此直线与轴，轴的交点坐标分别为由题设可得 整理得 将上式代入③式得，整理得 解得或所以k的取值范围是 例题3：已知椭圆的右焦点，长轴的左、右端点分别