第一章 1.1.2 集合的基本关系（word）-2019-2020学年高中新教材数学第一册【步步高】学案导学与随堂笔记（人教B版）

1.1.2　集合的基本关系 学习目标　1.理解子集、真子集、空集的概念.2.能用符号和维恩图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法.4.能根据集合间的关系求参数的取值范围. 知识点一　子集与真子集 1.子集与真子集 概念 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集 AB (或BA) 2.维恩图 用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图. 3.子集、真子集的性质 (1)任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A. (2)空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A. (3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，那么A⊆C. (4)对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC. 思考　{0}与∅相同吗？它们之间有什么关系？ 答案　不同.{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，∅是{0}的真子集. 知识点二　集合的相等与子集的关系 1.如果A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2.如果A＝B，则A⊆B且B⊆A. 1.空集中不含任何元素，所以∅不是集合.(　×　) 2.任何一个集合都有子集.(　√　) 3.若A＝B，则A⊆B且B⊆A.(　√　) 4.空集是任何集合的真子集.(　×　) 一、集合间关系的判断 例1　(1)下列各式中，正确的个数是(　　) ①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}. A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序实数对(0,1)为元素的单点集，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}.故②③④是正确的. (2)指出下列各组集合之间的关系： ①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； ②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； ③M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}. 解　①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. ②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. ③方法一　两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N＋，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. 方法二　由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以NM. 反思感悟　判断集合间关系的方法 (1)用定义判断 ①任意x∈A时，x∈B，则A⊆B. ②当A⊆B时，存在x∈B，且x∉A，则AB. ③若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.[来源:学。科。网Z。X。X。K] (2)数形结合判断 对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍. 跟踪训练1　能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的维恩图是(　　) 答案　B 解析　由x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}， 易得NM，其对应的维恩图如选项B所示. 二、子集、真子集的个数问题 例2　已知集合M满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况. 解　由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； 含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； 含有5个元素：{1,2,3,4,5}. 故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}. 反思感悟　公式法求有限集合的子集个数 (1)含n个元素的集合有2n个子集. (2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集. (3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集. (4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集. 跟踪训练2　已知集合A＝{x|0≤x<5，且x∈N}，