第一章 1.2.1 命题与量词（word）-2019-2020学年高中新教材数学第一册【步步高】学案导学与随堂笔记（人教B版）

1.2　常用逻辑用语 1.2.1　命题与量词 学习目标　1.掌握命题的概念，能对命题进行真假判断.2.理解全称(存在)量词、全称(存在)量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假. 知识点一　命题的概念 知识点二　全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题称为全称量词命题 含有存在量词的命题称为存在量词命题 命题形式 “对集合M中所有元素x，r(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，r(x)”[来源:学科网] “存在集合M中的元素x，s(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，s(x)” 1.“一个数不是正数就是负数”是真命题.(　×　) 2.“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.(　×　) 3.全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”.(　√　) 4.“三角形内角和是180°”是全称量词命题.(　√　) 一、全称量词命题与存在量词命题的辨析 例1　(1)下列语句不是存在量词命题的是　(　　) A.有的无理数的平方是有理数 B.有的无理数的平方不是有理数 C.对于任意x∈Z,2x＋1是奇数 D.存在x∈R,2x＋1是奇数 答案　C 解析　因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题. (2)给出下列几个命题： ①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立； ②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立； ③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立； ④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立. 其中是全称量词命题的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.0 答案　B 解析　因为“至少有一个”、“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以①④为存在量词命题，②③为全称量词命题，所以全称量词命题的个数为2. 反思感悟　全称量词命题或存在量词命题的判断 注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略. 跟踪训练1　下列命题中全称量词命题的个数为(　　)[来源:学科网] ①平行四边形的对角线互相平分； ②梯形有两边平行； ③存在一个菱形，它的四条边不相等. A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　①②是全称量词命题，③是存在量词命题. 二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断 例2　判断下列命题的真假. (1)∃x∈Z，x3<1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)∀x∈N，x2>0. 解　(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1， 所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题. (2)真命题，如梯形. (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题. (4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题. 反思感悟　全称量词命题和存在量词命题真假的判断 (1)要判断一个全称量词命题为真，必须对于给定集合的每一个元素x，都有命题r(x)成立；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x0，使命题r(x0)不成立即可. (2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x0，使命题s(x0)成立即可；要判断一个存在量词命题为假，需要说明集合中每一个x，都使s(x)不成立. 跟踪训练2　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假. (1)∀x∈N,2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0. 解　(1)是全称量词命题，因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题. (2)是存在量词命题.因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题. 三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅. (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围； (2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围. 解　(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，又B≠∅，所以 解得2≤m≤3. 即m的取值范围是{m|2≤m≤3}. (2)q为真，则A∩B≠∅， 因为B≠∅，所以m≥2. 所以解得2≤m≤4. 即m的取值范围是{m|2≤m≤4}. 反思感悟　求解含有量词的命题中参数范围的策略 对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函数的最大值(或最小值). 跟踪训练3　若命题“对任意实数x,2x>m(x2＋1)”是真命题，求实数m的取值范围. 解　由题意知，不等式2x>