第二章 2.2.3 一元二次不等式的解法（word）-2019-2020学年高中新教材数学第一册【步步高】学案导学与随堂笔记（人教B版）

2.2.3　一元二次不等式的解法 学习目标　1.通过实例了解一元二次不等式.2.掌握一元二次不等式的解法． 知识点一　一元二次不等式的概念 一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c为常数，而且a≠0. 不等式中的不等号也可以是“＜”“≥”“≤”等． 思考　不等式ax2＋x－1>0一定表示一元二次不等式吗？ 答案　不一定．当a＝0时，表示一元一次不等式． 知识点二　一元二次不等式的解法 一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)． 1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号) 答案　②④ 解析　一定是一元二次不等式的为②④. 2．不等式x(2－x)>0的解集为________． 答案　(0,2) 解析　原不等式可化为x(x－2)<0，∴0<x<2. 3．不等式4x2－9<0的解集是________． 答案　 解析　原不等式可化为x2<，即－<x<. 4．不等式<0的解集为________． 答案　(－1,1) 一、解不含参数的一元二次不等式 例1　求下列不等式的解集． (1)4x2－4x＋1>0； (2)－x2＋2x－3>0. 解　(1)因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0， 所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝， 所以原不等式的解集为. (2)不等式可化为x2－2x＋3<0. 因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，方程x2－2x＋3＝0无实数解， 而y＝x2－2x＋3的图像开口向上， 所以原不等式的解集是∅. 反思感悟　解一元二次不等式的一般步骤 第一步：分解为两个因式的乘积的形式或配方成完全平方式形式； 第二步：写出不等式的解集． 跟踪训练1　求下列不等式的解集： (1)4x2－4x＋1>0； (2)－x2＋6x－10>0. 解　(1)∵4x2－4x＋1＝(2x－1)2， ∴原不等式可化为(2x－1)2>0， 注意到只要x≠，上述不等式就成立， ∴不等式的解集为∪. (2)∵原不等式可化为x2－6x＋10<0， x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， ∴原不等式等价于(x－3)2＋1<0， ∴原不等式的解集为∅. 二、含参数的一元二次不等式的解法 例2　设a∈R，求关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0的解集． 解　(1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为(2，＋∞)． (2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－. ①当a<－时，解不等式得－<x<2， 即原不等式的解集为； ②当a＝－时，不等式无解， 即原不等式的解集为∅； ③当－<a<0时，解不等式得2<x<－， 即原不等式的解集为； ④当a>0时， 解不等式得x<－或x>2， 即原不等式的解集为∪(2，＋∞)． 反思感悟　解含参数的一元二次不等式的步骤 特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． 跟踪训练2　(1)当a＝时，求关于x的不等式x2－x＋1≤0的解集； (2)若a>0，求关于x的不等式x2－x＋1≤0的解集． 解　(1)当a＝时，有x2－x＋1≤0，即2x2－5x＋2≤0，解得≤x≤2， 故不等式的解集为. (2)x2－x＋1≤0⇔(x－a)≤0， ①当0<a<1时，a<，不等式的解集为； ②当a＝1时，a＝＝1，不等式的解集为{1}； ③当a>1时，a>，不等式的解集为. 综上，当0<a<1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为{1}； 当a>1时，不等式的解集为. 三、三个“二次”间的关系及应用 例3　已知二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集为(－3,2)． (1)求二次函数的解析式； (2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围． 解　(1)因为y>0的解集为(－3,2)， 所以－3,2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根， 所以解得 所以y＝－3x2－3x＋18. (2)因为a＝－3<0，所以二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图像开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－. 所以当c≤－时，－3x2＋5x＋c≤0的解集为R. 反思感悟　三个“二次”之间的关系[来源:学科网] (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二