第一章 1.4.1 充分条件与必要条件（word）-2019-2020学年高中新教材数学第一册【步步高】学案导学与随堂笔记（人教A版）

1．4　充分条件与必要条件 1．4.1　充分条件与必要条件 学习目标　1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.3.能通过充分性、必要性解决简单的问题． 知识点　充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 思考　若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？ 答案　不唯一．例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是“x>2”“x>3”或“2<x<3”等． 预习小测　自我检验 1．若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是q的________条件． 答案　必要 2．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件． 答案　充分 3．p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件． 答案　必要 解析　∵x＝y⇒|x|＝|y|，即q⇒p， ∴p是q的必要条件． 4．p：a＝0，q：ab＝0，则p是q的________条件． 答案　充分 一、充分条件的判断 例1　(1)下列命题中，p是q的充分条件的是________．[来源:学#科#网Z#X#X#K] ①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0； ②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根． 答案　③ 解析　 ①∵(x－2)(x－3)＝0， ∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0. ∴p不是q的充分条件． ②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件． ③∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件． (2)“a>2且b>2”是“a＋b>4，ab>4”的________条件． 答案　充分 解析　由a>2且b>2⇒a＋b>4，ab>4， ∴是充分条件． 反思感悟　充分条件的判断方法 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． 跟踪训练1　“x>2”是“x2>4”的________条件． 答案　充分 解析　x>2⇒x2>4，故x>2是x2>4的充分条件． 二、必要条件的判断 例2　在以下各题中，分析p与q的关系： (1)p：x>2且y>3，q：x＋y>5； (2)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形． 解　(1)由于p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)由于q⇒p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件． 反思感悟　(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 跟踪训练2　分析下列各项中p与q的关系． (1)p：α为锐角，q：α＝45°. (2)p：(x＋1)(x－2)＝0，q：x＋1＝0.[来源:学科网ZXXK] 解　(1)由于q⇒p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件． (2)由于q⇒p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件． 三、充分条件与必要条件的应用 例3　已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 解　p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以⇒－≤a<0， 所以a的取值范围是－≤a<0. 延伸探究 1．将本例中条件p改为“实数x满足a<x<3a，其中a>0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围． 解　p：a<x<3a，即集合A＝{x|a<x<3a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为q⇒p，所以B⊆A， 所以⇒a∈∅. 2．将例题中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围． 解　p：3a<x<a，其中a<0，即集合A＝{x|3a<x<a}． q：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}． 因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以A⊆B， 所以⇒－1≤a<0. 所以a的取值范围是－1≤a<0. 反思感悟　充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，