第一章 1.4.2 充要条件（word）-2019-2020学年高中新教材数学第一册【步步高】学案导学与随堂笔记（人教A版）

1．4.2　充要条件 学习目标　1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明． 知识点　充要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 1．“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．(　√　) 2．q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　√　) 3．若p是q的充要条件，则条件p和q是两个相互等价的条件．(　√　) 4．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(　√　) 一、充分、必要、充要条件的判断 例1　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)． (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2)p：x>1，q：x2>1； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：|ab|＝ab，q：ab>0. 解　(1)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (2)∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (3)∵p不能推出q，q⇒p， ∴p是q的必要不充分条件． (4)∵ab＝0时，|ab|＝ab， ∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q. 而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p. ∴p是q的必要不充分条件． 反思感悟　判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 跟踪训练1　已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的________条件． 答案　充要 解析　因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0， 充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件． 二、充要条件的证明 例2　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明　充分性：因为a＋b＋c＝0， 所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0， 得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0. 所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. 必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， 所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0. 所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 延伸探究 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根， 所以Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0， 所以ac<0. 充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝<0， 所以方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，且两根异号， 即方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根． 反思感悟　充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 跟踪训练2　已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1. 证明　充分性：若a2－b2＝1成立， 则a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1， 所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件． 必要性：若a4－b4－2b2＝1成立， 则a4－(b2＋1)2＝0， 即(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0. 因为a，b为实数，所以a2＋b2＋1≠0， 所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1.[来源:学+科+网] 综上可知，a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1. 三、充要条件的应用 例3　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有或 解得m≤3. 又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． 延伸探究 1．若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m