第一章 1.5.1 全称量词与存在量词（word）-2019-2020学年高中新教材数学第一册【步步高】学案导学与随堂笔记（人教A版）

1．5　全称量词与存在量词 1．5.1　全称量词与存在量词 学习目标　1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义. 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 知识点　全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(　×　) 2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(　√　) 3．“三角形内角和是180°”是全称量词命题．(　√　) 一、全称量词命题与存在量词命题的辨析 例1　(1)下列语句不是存在量词命题的是　(　　) A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数 C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数 D．存在x∈R,2x＋1是奇数 答案　C 解析　因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题． (2)给出下列几个命题： ①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立； ②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立； ③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立； ④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立． 其中是全称量词命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 答案　B 解析　因为“至少有一个”、“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以①④为存在量词命题，②③为全称量词命题，所以全称量词命题的个数为2. 反思感悟　全称量词命题或存在量词命题的判断 注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略． 跟踪训练1　下列命题中全称量词命题的个数为(　　) ①平行四边形的对角线互相平分； ②梯形有两边平行； ③存在一个菱形，它的四条边不相等． A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　①②是全称量词命题，③是存在量词命题． 二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断 例2　判断下列命题的真假． (1)∃x∈Z，x3<1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)∀x∈N，x2>0. 解　(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1， 所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题． (2)真命题，如梯形． (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题． 反思感悟　全称量词命题和存在量词命题真假的判断 (1)要判断一个全称量词命题为真，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假． (2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为假． 跟踪训练2　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)∀x∈N,2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0. 解　(1)是全称量词命题，因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题． 三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数 例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅. (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围； (2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围． 解　(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，B≠∅， 所以 解得2≤m≤3. (2)q为真，则A∩B≠∅， 因为B≠∅，所以m≥2. 所以 解得2≤m≤4. 反思感悟　求解含有量词的命题中参数范围的策略 对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函数的最大值(或最小值)． 跟踪训练3　若命题“对任意实数x,2x>m(x2＋1)”是真命题，求实数m的取值范围． 解　由题意知，不等式2x>m(x2＋1)恒成立， 即不等式mx2－2x＋m<0恒成立． (1)当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立，不合题意． (2)当m≠0时，要使不等式mx2－2x＋m<0恒成立， 则 解得m<－1. 综上可知