第一章 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定（word）-2019-2020学年高中新教材数学第一册【步步高】学案导学与随堂笔记（人教A版）

1．5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 学习目标　1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 知识点　含量词的命题的否定 p 綈p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 1．∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．(　√　) 2．“任意x∈R，x2≥0”的否定为“∃x∈R，x2<0”．(　√　) 3．“∃x∈R，|x|＝x”是假命题．(　×　) 一、全称量词命题的否定 例1　写出下列命题的否定． (1)所有矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0. 解　(1)存在一个矩形不是平行四边形； (2)存在一个素数不是奇数； (3)∃x∈R，x2－2x＋1<0. 反思感悟　全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)，全称量词命题的否定是存在量词命题． 跟踪训练1　写出下列命题的否定，并判断其否定的真假： (1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根； (2)p：∀x∈N,2x>0. 解　(1)綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故綈p为假命题． (2)綈p：∃x∈N,2x≤0.綈p为假命题． 二、存在量词命题的否定 例2　写出下列命题的否定． (1)有些四边形有外接圆； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x∈R，x2＋1<0. 解　(1)所有的四边形都没有外接圆； (2)所有平行四边形都不是菱形； (3)∀x∈R，x2＋1≥0. 反思感悟　对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述． 跟踪训练2　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：[来源:Z,xx,k.Com] (1)有些实数的绝对值是正数； (2)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3. 解　(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题． (2)命题的否定：“∀x，y∈Z，x＋y≠3”． ∵当x＝0，y＝3时，x＋y＝3， ∴命题的否定是假命题．[来源:学&科&网] 三、全称量词命题、存在量词命题的综合应用 例3　对于任意实数x，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围． 解　令y＝x2＋4x－1，x∈R， 则y＝(x＋2)2－5， 因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立， 所以只要m<－5即可． 所以所求m的取值范围是{m|m<－5}． 延伸探究 本例条件变为：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围． 解　令y＝－x2＋4x－1， 因为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3. 又因为∃x∈R，－x2＋4x－1>m有解， 所以只要m小于函数的最大值即可， 所以所求m 的取值范围是{m|m<3}． 反思感悟　求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)． (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)． 跟踪训练3　若命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．a≥1 B．a>1 C．a<1 D．a≤1 答案　D 解析　命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命题，则Δ≥0，即a≤1.故选D. 1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　) A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0 C．∃x∈R，|x|＋x2<0 D．∃x∈R，|x|＋x2≥0 答案　C 解析　条件∀x∈R的否定是∃x∈R，结论“|x|＋x2≥0”的否定是“|x|＋x2<0”． 2．命题“存在实数x，使x>1”的否定是(　　) A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1 C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1 答案　C 解析　利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解． “存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C. 3．关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　) A．綈p：∃x∈R，x2＋1≠0 B．綈p：∀x