第一章 章末复习（word）-2019-2020学年高中新教材数学第一册【步步高】学案导学与随堂笔记（人教A版）

章末复习 一、集合的综合运算[来源:学科网] 1．集合的运算有交、并、补这三种常见的运算，它是集合中的核心内容．在进行集合的运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析(或Venn图)是个好帮手，能将复杂问题直观化．在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意，以免增解或漏解． 2．掌握集合的基本关系与基本运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 例1　已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围； (2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？ 解　(1)∵A＝{x|0≤x≤2}， ∴∁RA＝{x|x<0或x>2}． ∵(∁RA)∪B＝R， ∴∴－1≤a≤0. 所以a的取值范围为{a|－1≤a≤0}． (2)由(1)知(∁RA)∪B＝R时， －1≤a≤0，而2≤a＋3≤3， ∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾． 即这样的a不存在． 反思感悟　借助数轴表达集合间的关系可以更直观，但操作时要规范，如区间端点的顺序、虚实不能标反． 跟踪训练1　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，集合B＝{x|－3<x≤3}，求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B. 解　把集合U及集合A，B分别在数轴上表示出来． 如图， ∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2<x<3}， ∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， (∁UA)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}． 二、充分条件、必要条件与充要条件 1．若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件； 若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件． 2．掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养． 例2　设p：实数x满足A＝{x|x≤3a，或x≥a(a<0)}． q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}． 且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解　∵q是p的充分不必要条件． ∴BA， ∴或 解得－≤a<0或a≤－4. 所以a的范围为. 反思感悟　在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼． 跟踪训练2　(1)已知集合A＝{x|－4≤x≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，则“a>5”是“A⊆B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　A 解析　A⊆B⇔a>4，而a>5⇒a>4，且a>4⇏a>5，所以“a>5”是“A⊆B”的充分不必要条件． (2)“不等式x2－2x＋m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是(　　) A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≥2 答案　D 解析　“不等式x2－2x＋m≥0在R上恒成立”的充要条件为：“(－2)2－4m≤0”即“m≥1”， 又“m≥2”是“m≥1”的充分不必要条件， 即“不等式x2－2x＋m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是“m≥2”， 故选D. 三、全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题．首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定． 2．通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等，培养逻辑推理和数学运算素养． 例3　(1) 命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是(　　) A．∃x∈R，x2－2x＋1≤0[来源:Zxxk.Com] B．∃x∈R，x2－2x＋1≥0[来源:学科网ZXXK] C．∃x∈R，x2－2x＋1<0 D．∀x∈R，x2－2x＋1<0 答案　C 解析　∵命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”为全称量词命题， ∴命题的否定为：∃x∈R，x2－2x＋1<0， 故选C. (2)若命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．m≥1 B．m>1 C．m<1 D．m≤1 答案　B 解析　命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则m≠－(x2－2x)， ∵－(x2－2x)＝－(x－1)2＋1≤1， ∴m>1. ∴实数m的取值范围是{m|m>1}．[来源:学.科.网] 故选B. 反思感悟　全称量词命题、存在量词命题真假判断 (1)全称量词命题的真假判定：要判定一个全称量词命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称量词命题为假，只需举出一个反例即可． (2)存在量词命题的真假判定：要判定一个存在量词命题为真，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题为假． 跟踪训练3　(1)∃m，n∈Z，使得m2＝n2＋