第二章 2.1 第1课时 不等关系与不等式（word）-2019-2020学年高中新教材数学第一册【步步高】学案导学与随堂笔记（人教A版）

2．1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 学习目标　1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小． 知识点一　基本事实 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 思考　x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小吗？ 答案　作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x. 知识点二　重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 预习小测　自我检验 1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系________． 答案　T≤40 解析　“限重40吨”是不超过40吨的意思． 2．设M＝x2，N＝2x－1则M与N的大小关系是________． 答案　M≥N 解析　因为M－N＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以M≥N. 3．如果a>b，那么c－2a与c－2b中较大的是________． 答案　c－2b 解析　c－2a－(c－2b)＝2b－2a＝2(b－a)<0. 4．已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________． 答案　2 一、用不等式(组)表示不等关系 例1　《铁路旅行常识》规定： 一、随同成人旅行，身高在1.2～1.5米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票． …… 十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克…… 设身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系. 文字表述 身高在1.2～1.5米[来源:学.科.网Z.X.X.K] 身高超过1.5米 身高不足1.2米 物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米 符号表示 解　由题意可获取以下主要信息： (1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)； (2)题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示． 身高在1.2～1.5米可表示为1.2≤h≤1.5， 身高超过1.5米可表示为h>1.5， 身高不足1.2米可表示为h<1.2， 物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示： 文字表述 身高在1.2～1.5米 身高超过1.5米 身高不足1.2米 物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米 符号表示 1.2≤h≤1.5 h>1.5 h<1.2 P≤160 反思感悟 (1)将不等关系表示成不等式(组)的思路 ①读懂题意，找准不等式所联系的量． ②用适当的不等号连接． ③多个不等关系用不等式组表示． (2)常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 跟踪训练1　某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后试卷的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 解　提价后销售的总收入为x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式x≥20(2.5≤x<6.5)． 二、作差法比较大小 例2　已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． 解　∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2) ＝a2(a－b)＋b2(b－a) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． 当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2. 综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2. 延伸探究 1．若a>0，b>0，a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小关系又如何？ 解　(a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3 ＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2) ＝(a2－b2)(a3－b3) ＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)． ∵a>0，b>0， ∴(a－b)2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0. ∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3. 2．