第二章 2.1 第2课时 等式性质与不等式性质（word）-2019-2020学年高中新教材数学第一册【步步高】学案导学与随堂笔记（人教A版）

第2课时　等式性质与不等式性质 学习目标　1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 知识点一　等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c. (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点二　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4[来源:Zxxk.Com] 可乘性 ⇒ac>bc[来源:学科网][来源:学科网ZXXK][来源:学科网] c的符号[来源:学科网] ⇒ac<bc 5 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 1．若a>b，则a－c>b－c.(　√　) 2.>1⇒a>b.(　×　) 3．a>b⇔a＋c>b＋c.(　√　) 4.⇔a＋c>b＋d.(　×　) 一、利用不等式的性质判断或证明 例1　(1)给出下列命题： ①若ab>0，a>b，则<； ②若a>b，c>d，则a－c>b－d； ③对于正数a，b，m，若a<b，则<.其中真命题的序号是________． 答案　①③ 解析　对于①，若ab>0，则>0， 又a>b，所以>，所以<，所以①正确； 对于②，若a＝7，b＝6，c＝0，d＝－10， 则7－0<6－(－10)，②错误； 对于③，对于正数a，b，m， 若a<b，则am<bm， 所以am＋ab<bm＋ab， 所以0<a(b＋m)<b(a＋m)， 又>0，所以<，③正确． 综上，真命题的序号是①③. (2)已知a>b>0，c<d<0.求证：<. 证明　因为c<d<0，所以－c>－d>0. 所以0<－<－. 又因为a>b>0，所以－>－>0. 所以>，即－>－， 两边同乘－1，得<. 反思感悟　(1)首先要注意不等式成立的条件，在解决选择题时，可利用特值法进行排除，注意取值时一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算． (2)应用不等式的性质证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导． 跟踪训练1　若<<0，有下面四个不等式： ①|a|>|b|，②a<b，③a＋b<ab，④a3>b3. 则不正确的不等式的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　由<<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，①②均不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，③正确；a3>b3，④正确． 故不正确的不等式的个数为2. 二、利用性质比较大小 例2　若P＝＋，Q＝＋(a>－5)，则P，Q的大小关系为(　　) A．P<Q B．P＝Q C．P>Q D．不能确定 答案　C 解析　P2＝2a＋13＋2， Q2＝2a＋13＋2， 因为(a＋6)(a＋7)－(a＋5)(a＋8)＝a2＋13a＋42－(a2＋13a＋40)＝2>0， 所以>， 所以P2>Q2，所以P>Q. 反思感悟　比较大小的两种方法 作商比较法 乘方比较法 依据 a>0，b>0，且>1⇒a>b； a>0，b>0，且<1⇒a<b a2>b2且a>0，b>0⇒a>b 应用范围 同号两数比较大小或指数式之间比较大小 要比较的两数(式)中有根号 步骤 ①作商 ②变形 ③判断商值与1的大小 ④下结论 ①乘方 ②用作差比较法或作商比较法 跟踪训练2　下列命题中一定正确的是(　　) A．若a>b，且>，则a>0，b<0 B．若a>b，b≠0，则>1 C．若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d D．若a>b，且ac>bd，则c>d 答案　A 解析　对于A，∵>，∴>0， 又a>b，∴b－a<0，∴ab<0， ∴a>0，b<0，故A正确； 对于B，当a>0，b<0时，有<1，故B错； 对于C，当a＝10，b＝2时，有10＋1>2＋3，但1<3， 故C错； 对于D，当a＝－1，b＝－2时，有(－1)×(－1)>(－2)×3，但－1<3，故D错． 三、利用不等式的性质求范围 例3　已知12<a<60,15<b<36.求a－b和的取值范围． 解　∵15<b<36，∴－36<－b<－15， ∴12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45. 又<<，∴<<，即<<4. 故－24<a－b<45，<<4. 延伸探究 已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围． 解　令a＋b＝μ，a－b＝ν，则2≤μ≤4,1≤ν≤2. 由解得 ∴4a－2b＝4·－2·＝2μ＋2ν－μ＋ν＝