第二章 2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式（word）-2019-2020学年高中新教材数学第一册【步步高】学案导学与随堂笔记（人教A版）

2．3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式 学习目标　1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 知识点一　一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点二　一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 知识点三　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0[来源:学科网ZXXK] Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 预习小测　自我检验 1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号) 答案　②④ 解析　一定是一元二次不等式的为②④. 2．不等式x(2－x)>0的解集为________． 答案　{x|0<x<2} 解析　原不等式可化为x(x－2)<0，∴0<x<2. 3．不等式4x2－9<0的解集是________． 答案　 解析　原不等式可化为x2<，即－<x<. 4．已知一元二次不等式ax2＋2x－1<0的解集为R，则a的取值范围是________． 答案　{a|a<－1} 解析　由题意知∴∴a<－1. 一、解不含参数的一元二次不等式 例1　解下列不等式：[来源:学.科.网] (1)－x2＋5x－6>0； (2)3x2＋5x－2≥0； (3)x2－4x＋5>0. 解　(1)不等式可化为x2－5x＋6<0. 因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x2－5x＋6＝0有两个实数根：x1＝2，x2＝3. 由二次函数y＝x2－5x＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x|2<x<3}． (2)因为Δ＝25－4×3×(－2)＝49>0， 所以方程3x2＋5x－2＝0的两实根为x1＝－2，x2＝. 由二次函数y＝3x2＋5x－2的图象(图②)，得原不等式的解集为. (3)方程x2－4x＋5＝0无实数解，函数y＝x2－4x＋5的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点(如图③)．观察图象可得，不等式的解集为R. 反思感悟　解一元二次不等式的一般步骤 第一步：把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正，右边为0的形式)；第二步：求Δ＝b2－4ac；第三步：若Δ<0，根据二次函数图象直接写出解集；若Δ≥0，求出对应方程的根写出解集． 跟踪训练1　解下列不等式：[来源:学科网] (1)4x2－4x＋1>0； (2)－x2＋6x－10>0. 解　(1)∵方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝.作出函数y＝4x2－4x＋1的图象如图．由图可得原不等式的解集为. (2)原不等式可化为x2－6x＋10<0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程x2－6x＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅. 二、三个“二次”间的关系及应用 例2　已知二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集为{x|－3<x<2}． (1)求二次函数的解析式； (2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围． 解　(1)因为y>0的解集为{x|－3<x<2}， 所以－3,2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根， 所以解得 所以y＝－3x2－3x＋18. (2)因为a＝－3<0，所以二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－. 所以当c≤－时，－3x2＋5x＋c≤0的解集为R. 反思感悟　三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要