第二章 2.3 第2课时 一元二次不等式在实际问题中的应用（word）-2019-2020学年高中新教材数学第一册【步步高】学案导学与随堂笔记（人教A版）

第2课时　一元二次不等式在实际问题中的应用 学习目标　1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义.2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题． 知识点　用一元二次不等式解决实际问题的步骤 1．理解题意，搞清量与量之间的关系； 2．建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题． 3．解决这个一元二次不等式，得到实际问题的解． 预习小测　自我检验[来源:学。科。网Z。X。X。K] 1．不等式≥0的解集为________． 答案　{x|－1≤x<1} 解析　原不等式⇔ ∴－1≤x<1. 2．不等式≤1的解集为________． 答案　{x|x≥1或x<0} 解析　∵≤1，∴≥0， ∴∴x≥1或x<0. 3．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________ 台． 答案　150 解析　y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0， 即x2＋50x－30 000≥0， 解得x≥150或x≤－200(舍去)． 4．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的函数关系是y1＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；销售量y2与时间t的函数关系是y2＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围是________________． 答案　{t|10≤t≤15，t∈N} 解析　日销售金额＝(t＋10)(－t＋35)， 依题意有(t＋10)(－t＋35)≥500， 解得解集为{t|10≤t≤15，t∈N}． 一、分式不等式的解法 例1　解下列不等式： (1)<0；　　　(2)≤1. 解　(1)<0⇔(2x－5)(x＋4)<0⇔－4<x<， ∴原不等式的解集为. (2)∵≤1，∴－1≤0， ∴≤0，即≥0. 此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4， ∴原不等式的解集为. 反思感悟　分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母即可． 跟踪训练1　解下列不等式： (1)≥0；(2)>1. 解　(1)原不等式可化为 解得∴x<－或x≥， ∴原不等式的解集为. (2)方法一　原不等式可化为或 解得或 ∴－3<x<－， ∴原不等式的解集为. 方法二　原不等式可化为>0， 化简得>0，即<0， ∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3<x<－. ∴原不等式的解集为. 二、一元二次不等式的实际应用 例2　某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． (1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． 解　(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)． (2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元)． 依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%， 化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2. 又因为0<x<10，所以0<x≤2. 即x的取值范围为{x|0<x≤2}． 反思感悟　解不等式应用题的步骤 跟踪训练2　北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？ 解　(1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8， 整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40. 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意得当x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋有解， 等价于当