第二章 微专题1 基本不等式的应用技巧（word）-2019-2020学年高中新教材数学第一册【步步高】学案导学与随堂笔记（人教A版）

微专题1　基本不等式的应用技巧 在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用． 一、加项变换 例1　已知关于x的不等式x＋≥7在x>a上恒成立，则实数a的最小值为________． 答案　5 解析　∵x>a， ∴x－a>0， ∴x＋＝(x－a)＋＋a≥2＋a，[来源:学科网] 当且仅当x＝a＋1时，等号成立，[来源:学,科,网Z,X,X,K] ∴2＋a≥7，即a≥5. 反思感悟　加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解． 二、平方后使用基本不等式 例2　若x>0，y>0，且2x2＋＝8，则x的最大值为________．[来源:Z_xx_k.Com] 答案　 解析　(x)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2 ≤3·2＝3×2. 当且仅当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立． 故x的最大值为. 三、展开后求最值 例3　若a，b是正数，则的最小值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　C 解析　∵a，b是正数， ∴＝1＋＋＋4＝5＋＋ ≥5＋2＝5＋4＝9， 当且仅当b＝2a时取“＝”． 四、常数代换法求最值 例4　已知x，y是正数且x＋y＝1，则＋的最小值为(　　) A. B. C．2 D．3 答案　B 解析　由x＋y＝1得(x＋2)＋(y＋1)＝4， 即[(x＋2)＋(y＋1)]＝1， ∴＋＝·[(x＋2)＋(y＋1)] ＝ ≥(5＋4)＝， 当且仅当x＝，y＝时“＝”成立，故选B. 反思感悟　通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的． 五、代换减元求最值 例5　若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________． 答案　8 解析　∵实数x，y满足xy＋3x＝3， ∴x＝，∴0<<，解得y>3. 则＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y＝4，x＝时取等号． 反思感悟　在解含有两个以上变元的最值问题时，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个或一个变元的问题，再使用基本不等式求解． 六、建立求解目标不等式求最值 例6　已知a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，则3a＋4b的最小值等于________．[来源:学科网] 答案　6－1 解析　a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，[来源:Z。xx。k.Com] 即有(a＋b)(a＋2b＋1)＝9， 即(2a＋2b)(a＋2b＋1)＝18， 可得3a＋4b＋1＝(2a＋2b)＋(a＋2b＋1) ≥2＝6， 当且仅当2a＋2b＝a＋2b＋1时，上式取得等号， 即有3a＋4b的最小值为6－1. 例7　已知a>0，b>0，且a＋b＋＋＝5，则a＋b的取值范围是(　　) A．1≤a＋b≤4 B．a＋b≥2 C．1<a＋b<4 D．a＋b>4 答案　A 解析　∵a＋b＋＋＝5， ∴a＋b＋＝5. ∵a>0，b>0，ab≤2， ∴≥， ∴a＋b＋≥a＋b＋， ∴a＋b＋≤5， 即(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0， ∴(a＋b－4)(a＋b－1)≤0， 即1≤a＋b≤4， 当a＝b＝时，左边等号成立， 当a＝b＝2时，右边等号成立，故选A. 反思感悟　利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值． $$