专题05 立体几何中垂直关系的证明-新教材2019-2020学年下学期高一数学期末挑重点(人教A版必修第二册)

专题05 立体几何中垂直关系的证明 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 2.直线和平面所成的角 (1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角. (2)范围： 3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； (2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π]. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 判定定理 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 性质定理 如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 考点一、线面垂直的判定与性质 (2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点. (1)证明：PO⊥平面ABC； (2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离. 【证明】(1)证明　因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点， 所以OP⊥AC，且OP＝2. 连接OB.因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2. 由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB. 由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC. (2)解　作CH⊥OM，垂足为H. 又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM. 故CH的长为点C到平面POM的距离. 由题设可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°. 所以OM＝，CH＝＝. 所以点C到平面POM的距离为 考点二、面面垂直的判定与性质 如图，在四棱锥P－AB