2.5 从力做的功到向量的数量积-一课一讲一练·2019-2020学年高一数学必修4（北师大版）

§5　从力做的功到向量的数量积 一、新知梳理　　　　　　 1．力做的功 一个物体在F的作用下产生位移s，那么力F所做的功为W＝|F||s|cos θ，其中θ 是F与s的夹角． 2．两个向量的夹角 定义 已知两个非零向量 a和b，如图，作＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角＝a， 范围 0°≤θ≤180° 垂直 当θ＝90°时，称向量a与b互相垂直，记作a⊥ B．规定零向量可与任一向量垂直 特例 当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向 3.向量的数量积 定义 已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，把|a||b|·cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ． 特别规定：零向量与任一向量的数量积均为0 射影 |a|cos__θ(|b|cos θ)叫作向量a在b方向上(向量b在a方向上)的射影 几何 意义 a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos__θ的乘积 物理 意义 力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s 4.数量积的性质 (1)若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos__θ． (2)若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥b.通常记作a⊥b⇔a·b＝0．(a，b为非零向量) (3)a、b同向⇔a·b＝|a||b|；a、b反向⇔a·b＝－|a|·|b|；特别地a·a＝a2或|a|＝. (4)cos θ＝(|a||b|≠0)． (5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|.当且仅当a∥b时等号成立． 5．向量数量积的运算定律 已知向量a，b，c与实数λ，则 交换律 a·b＝b·a 结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 6.乘法公式成立 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (a±b)2＝a2±2a·b＋b2＝|a|2±2a·b＋|b|2等等． 二、疑难指津 1．对数量积概念的三点说明 (1)从定义上看：两向量的数量积是一个数量，而不是向量，其数值可正、可负、可为零，其决定因素为两向量的夹角． (2)从运算上看：两向量a，b的数量积称作内积，写成a·b，其中“·”是一种运算符号，不同于实数的乘