人教B版高中数学选修2-1常见几何关系的代数化方法学案

常见几何关系的代数化方法专题 常见几何问题转化： 1、 角度问题 （1） 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率： （2） 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定。 2、 点与圆的位置关系 （1） 利用圆的定义，转化为点到圆心距离等于半径。需要解出圆的方程，有些题目中计算量较大； （2） 若给出圆的一条直径，可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定： 若点在圆内，则为钝角，转化为向量：； 若点在圆上，则为直角，转化为向量：； 若点在圆外，则为锐角，转化为向量：。 3、 三点共线问题 （1） 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线； （2） 通过向量：任何两点确定向量，若向量共线，则三点共线。 4、 直线的平行垂直关系 可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转化为坐标运算：，，则 ，共线；。 5、平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系。 6、平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题，注意向量方向是同向还是反向。 7、三角形重心：设不共线三点，，，则的重心。 8、三角形垂心：转化为顶点与垂心的连线（垂线）与底边垂直，进而转化为向量的数量积为零。 9、三角形内心 （1） 角分线定理：； （2） ，； （3） 在的角分线上，则，等价于。 特例：当角分线平行于坐标轴时， 10、 四点共圆问题： （1） 共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等； （2） 圆内接四边形的对角互补，可以转化为数量积中的余弦，或正切（即斜率）和为0； （3） 方程法： ①法一：任选三点确定一个圆，再证明第四个点满足所求圆的方程； ②法二：任选2个相邻的弦作中垂线，两个中垂线的交点即为圆心，再证明圆心到四点距离相等； （4）圆幂定理：四个点，分别连接和，它们(或它们的延长线)交点为，若，则四点共圆。 [题型1 几何中基本性质之对称] [例1] 设，分别是椭圆的左右焦点。 （1） 若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； （2） 是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点，使？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由。 [题型2 几何中基本性质之夹角] [例2] 已知椭圆:的左右焦点分别为，，右顶点为，为椭圆上任意一点，且的最大值的取值范围是。 （1） 求椭圆的离心率的取值范围； （2） 设双曲线以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点，是双曲线在第一象限内任意一点，当取得最小值时，试问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。 [题型3 几何中基本性质之角平分线] [例3] 如图所示，椭圆：的离心率为，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为。 （1） 求椭圆的方程； （2） 在平面直角坐标系中中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。 [题型4 几何中基本性质之三点共线] [例4] 如图，分别是椭圆：的左右顶点，为其右焦点，的等差中项为2，的等比中项为。 （1） 求椭圆的方程； （2） 已知是椭圆上异于的动点，直线过点且垂直于轴，若过作直线，并交直线于点，证明：三点共线。 [题型5 几何中基本性质之四点共圆] [例5] 已知为坐标原点，为椭圆：在轴正半轴上的焦点，过且斜率为的直线与交于两点，点满足。 （1） 证明：点在椭圆上； （2） 设点关于点的对称点为，证明：四点在同一个圆上。 [题型6 几何中基本性质之平行（共线）线段积、商的向量转换] [例6] 已知椭圆：的离心率为，直线过点，，且与椭圆相切于点。 （1） 求椭圆的方程； （2） 是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。 第 1 页 共 8 页 $$常见几何关系的代数化方法专题 常见几何问题转化： 1、 角度问题 （1） 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率： （2） 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定。 2、 点与圆的位置关系 （1） 利用圆的定义，转化为点到圆心距离等于半径。需要解出圆的方程，有些题目中计算量较大； （2） 若给出圆的一条直径，可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定： 若点在圆内，则为钝角，转化为向量：； 若点在圆上，则为直角，转化为向量：； 若点在圆外，则为锐角，转化为向量：。 3、 三点共线问题 （1） 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线； （2） 通过向量：任何两点确定向量，若向量共线，则三点共线。 4、 直线的平行垂直关系 可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转化为坐标运算：，，则 ，共线；。 5、平