人教B版选修2-1第二章圆锥曲线与方程- 圆锥曲线定点、定直线、定值最值问题

定点、定直线、定值最值问题 1、 定点问题 把直线或曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零。即化成方程。既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于，的方程组，即，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。 解题方法： 【法一】：设直线，求解参数，一般的解题步骤为： （1） 设出直线方程：或； （2） 通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，找到和，或和的关系，或者求出和的值； （3） 根据（2）中的结果，通过上述直线过定点问题的方法技巧求出直线过的定点。 【法二】：求两点，猜定点，证向量共线，一般的解题步骤为： （1） 通过题干条件，求出直线上的两个点，的坐标（含参）； （2） 取两个具体的参数值，求出对应的直线，并求出它们的交点，该点即为直线过的定点； （3） 证明与共线，得出直线过定点。 备注：法二的计算量通常要大一些，一般首选法一。法二也可以采用先猜后证思想。 2、 定直线问题 要求证某点在定直线上，相当于求证该点的轨迹是直线。 此题主要有两种解法： （1） 先定性再求解。所谓定性就是根据题设条件确定定点，若存在则定点应在某直线上，定直线若存在则定直线应垂直或平行于某直线。 （2） 先定量再求证，即先猜后证（从特殊情况入手，求出该直线，再证明该直线对于一般情况也成立）。 3、 定值问题 解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题模板有两种： （1） 先猜后证：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； （2） 直接法：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。 直接法解题步骤： （1） 设出直线的方程：或、点的坐标； （2） 通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； （3） 将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。 常用的弦长公式： （1） 若直线的方程设为，，，则 （2） 若直线的方程设为，，，则 备注：上式中代表的是将直线方程带入圆锥曲线方程后，化简得出的关于或的一元二次方程的二次项系数。代表的是该一元二次方程的判别式。 4、 最值问题 最值问题与定值问题类似，解题步骤： （1） 设出直线方程或、点的坐标； （2） 将直线的方程带入圆锥曲线中，计算弦长、点到直线距离等中间量； （3） 将求范围的目标量表示成直线中中引入的参数的函数关系式； （4） 运用函数、均值不等式等基本方法求出最值或范围。 5、 探索性问题 探索性问题常见的是存在性问题，所谓存在性问题，就是判断满足某个（某些）条件的点、直线、曲线（或参数）等几何元素是否存在的问题。 解答这一类问题，从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性。探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能因素。 先猜后证答题模板： 第一步：假设结论存在； 第二步：以存在为条件，进行推理求解； 第三步：明确规范表述结论，若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确，若推出矛盾，即否定假设。 第四步：反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范。 [题型1 定点] [例1] 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1 （1） 求椭圆的标准方程； （2） 若直线：与椭圆相交于，两点（，不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。 [练习1] 已知一动圆经过点，且在轴上截得的弦长为4，设该动圆圆心的轨迹为曲线。 （1） 求曲线的方程； （2） 过点任意作两条互相垂直的直线，，分别交曲线于不同的两点和，设线段的中点分别为。 ①求证：直线过定点，并求出定点的坐标； ②求的最小值。 [题型2 定直线] [例2] 已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，原点到过点，的直线的距离为。 （1） 求椭圆的方程； （2） 设动直线：与椭圆有且只有一个公共点，过作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线方程。 [练习2.1] 已知椭圆：的左、右焦点为，，其上顶点为，已知是边长为2的正三角形。 （1） 求椭圆的方程； （2） 过点任意作一动直线交椭圆于两点，记，若在线段上取一点，使得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线；若不在，请说明理由。 [练习2.2] 设椭圆：的焦点在轴上。 （1） 若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程； （2） 设，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象