苏科版九年级数学下册 巧用抛物线的对称性解题 讲义

巧用抛物线的对称性解题 抛物线 的图象是关于直线 对称的图形，恰当、灵活地利用抛物线对称性来解决相关数学问题，可收到事半功倍的效果.请看下面一例的解法对比. 题目 已知抛物线 经过点(2,3)，对称轴为直线 ，并且在 轴上截得的弦长为4，则抛物线的解析式为 . 解析1 求二次函数的解析式常用待定系数法. 设抛物线与 轴的交点坐标为 ，则 =4. EMBED Equation.DSMT4 ，解得 . 抛物线的解析式为 . 解析2 由条件“对称轴为直线 ，并且在 轴上截得的弦长为4”，根据抛物线的对称性，可知抛物线与 轴两交点到对称轴的距离为2.因此，抛物线与 轴的两交点坐标为(－1,0)和(3,0)，这样我们可设抛物线的解析式为 .将(2,3)代入，得 ，故 ，即抛物线的解析式为 . 从上面两种解法，我们能感受到利用抛物线的对称性来求解的优越性. 下面，笔者从两个方面，探究如何利用抛物线的对称性助推我们解题. 一、对称轴的判定 对于抛物线 上两个不同点 ，若 ，则这两个点是关子对称轴的对称点，且这时抛物线的对称轴是直线 ；反之亦然. 例1 (2019年济宁中考题)如图1，抛物线 与直线 交于 两点，则不等式 的解集是 . 解析 抛物线的对称轴为 轴， 关于 轴对称点的坐标分别为 ，直线 关于Y轴的对称直线为 ，且经过 两点(如图1)，所以不等式 ，即 的解集是 或 . 例2 (2019年大庆中考题)如图2，抛物线 的对称轴为直线 ，抛物线与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，且点 的坐标为(－1,0). (1)求抛物线的函数表达式. (2)将抛物线 图象 轴下方部分沿 轴向上翻折，保留抛物线在 轴上的点和 轴上方图象，得到的新图象与直线 恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为 .当以 为直径的圆过点 时，求 的值。 解析 (1)由抛物线的对称性，可知点 的坐标为 ，则抛物线的函数表达式为 ， 即 . (2)∵ ， ∴ 轴下方图象沿 轴向上翻折后得到抛物线表达式为 EMBED Equation.DSMT4 ( )， 其顶点为(2，9)(