专题三十二：与动点有关的圆弧型路径轨迹问题探究-2020中考数学专题突破

专题三十二：与动点有关的圆弧型路径轨迹问题探究（无答案） 【导例】如图，一块边长为6cm的等边三角形木板ABC，在水平桌面上绕C点按顺时针方向旋转到△A′B′C′位置，则边AB的中点D运动的路径长是（ ）． A． B． C． D． 方法指引 我们知道在初中阶段常见的动点轨迹一般多为直线型或圆弧型，其中圆弧型路径轨迹问题是近年中考的热点，也是难点，常作为选填题的压轴题或大题轴题出现 .下面我们就来探究一下圆弧型路径轨迹问题的处理技巧 · 知识点睛 “圆弧型路径多涉及到的知识点有如下两种： ①【用一中同长定圆】： 到定点的距离等于定长的点的集合是圆。 ②【用定弦对定角定圆】： 当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的路径是圆弧。 · 方法小结 动点运动路径长”问题的一般策略如下：首先可以通过画图（一般要画出起始点、中间若于关键点和结束点）来判断路径类型和范围；其次是结合已知条件的特点运用不同的数学方法说明自己的判断是正确的：最后按照判断的路径类型及范围来计算路径长。 【导例答案】如图，连接CD，C′D′ ． ∵等边三角形ABC的边长为6cm，∴． 由图可知，旋转角为 ∴边的中点运动的路径长是： 【答案】B 典型例题引 类型一：利用动点的产生的圆弧型路径轨迹来求最值 【例1】如图，点C和点D在以O为圆心、AB为直径的半圆上，且∠COD=90°，AD与BC交于点P，若AB=2，则△APB面积的最大值是　 ． 【分析】首先可以证明∠APB=135°，从而得出点P的运动轨迹是以AB为弦，圆周角为135°的一段弧，再由题意推出当 PO⊥AB时，即PA=PB时，△PAB的面积最大，易得DP=DB，设DP=DB=x，则PA=PB=x，在Rt△ADB中，利用AD2+BD2=AB2，列出方程即可解决问题 类型二：利用动点的产生的圆弧型路径轨迹来求运动路径长 【例2】如图，AB为⊙O的直径，且AB=4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM． （1）∠OMP的度数为 ； （2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，内心M所经过的路径长为 cm． 【分析】（1）先判断出∠MOP=∠MOC，∠MPO=∠MPE，再用三角形的内角和定理即可得出结论； （2）分两种情况，当点M在扇形BOC和扇形AOC内，先求出∠CMO=135°，进而判断出点M的轨迹，再求出∠OO'C=90°，最后用弧长公式即可得出结论． 强化练习 1．如图，在半径为4的⊙O中，CD为直径，AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F,当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为 ( ) A． B． C． D． 2．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC=24 , ,点D为弧BC上一动点，CE垂直直线OD于点E, 当点D由B点沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径长为（ ） A． B． C． D． 3．如图，线段EF的长为4，O是EF的中点，以OF为边长做正方形OABC，连接AE、CF交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°止，则点P运动的路径长为（ ） A． B． C．2π D． 4．如图，等边三角形OPQ的边长为2，以O为圆心，AB为直径的半圆经过点P，点Q，连接AQ，BP相交于点C，将等边三角形OPQ从OA与OP重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转120度，则交点C运动的路径是（　　） A． B． C． D． 5．如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=2AD=6，直线BD、CE交于点P，Rt△ABC固定不动，将△ADE绕点A旋转一周，点P的运动路径长为（　　） A．12π B．8π C．6π D．4π 6．（2019年武汉市）如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A.B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C.E两点的运动路径长的比是（　　） A． B． C． D． 7.在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD=2，则线段CP的最小值为 ． 8．如图，边长为的正方形的顶点、在一个半径为的圆上，顶点、在圆内，将正方形沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动．当点第一次落在圆上时，点运动的路径长为________． 9．如图，BC是⊙O的直径，BC=，D，E是直径BC上方半圆上不与B、C重合的两点，且∠DOE=90°，