专题1.1 三角形的证明（精讲精练）-2019-2020学年八年级数学下学期期末考试高分直通车（北师大版）

2019-2020学年八年级下学期期末考试高分直通车（北师大版） 专题1.1三角形的证明（精讲精练） 【目标导航】 【知识梳理】 1.等腰三角形 （1）等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质： ①等腰三角形的两腰相等； ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 2.等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； 3.等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 4.等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 5.直角三角形的判定： （1）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． （2）直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 6.直角三角形的性质： 直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 7.线段的垂直平分线： （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 8. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直 【典例剖析】 考点1 等腰三角形的性质 【例1】（2019秋•崇川区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝110°，∠B＞∠A，D，E为边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC． （1）若∠A＝30°，求∠DCE的度数； （2）∠DCE的度数会随着∠A度数的变化而变化吗？请说明理由． 【变式1.1】（2019秋•岱岳区期末）在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点． （1）如图1，连接BE、CE，则BE＝CE吗？说明理由； （2）若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，如图2，BDAE吗？说明理由． 【变式1.2】（2019秋•西岗区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，且BD＝AB，连接AD、DC． （1）求证：∠CAD＝∠DBC； （2）求∠BDC的度数． 【变式1.3】（2019秋•平江县期末）如图，∠BAD＝90°，AB＝AC，AC的垂直平分线交BC于D． （1）求∠BAC的度数； （2）若AB＝10，BC＝10，求△ABD的周长． 【变式1.4】（2019秋•铜山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝CD，点D在BC上，且AD＝BD． （1）求证：∠ADB＝∠BAC； （2）求∠B的度数． 考点2等边三角形的性质 【例2】（2019秋•中原区校级期末）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高为h． （1）若点P在一边BC上[如图①]，此时h3＝0，求证：h1+h2+h3＝h； （2）当点P在△ABC内[如图②]，以及点P在△ABC外[如图③]这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，h1，h2，h3与