专题10 因式分解（知识点串讲）-2019-2020学年七年级数学下册期中期末考点大串讲（沪科版）

专题10 因式分解 知识框架 重难突破 一、因式分解及提取公因式法 1、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 备注：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式. （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 2、公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 备注：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 3、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 备注：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即 . 　　（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. 　　（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. 　　（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 例1．（2020·河南省初二月考）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（ ） A． B． C． D． 练习1．（2019·河南省初二期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 例2．（2020·湖南省初一月考）多项式 的公因式是_____． 练习1．（2019·陕西省西安市阎良区武屯初级中学初三二模）因式分解：2x2﹣4x═_____． 二、公式法因式分解 1、公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 备注：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 2、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 备注：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 例1．（2020·江苏省南菁高级中学实验学校初一期中）下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．x2+2x﹣1 B．x2﹣x+ C．x2+xy+y2 D．9+x2﹣3x 练习1．（2019·湖南省初三月考）把多项式 分解因式的结果是__________． 练习2．（2020·秦学教育甘肃省张掖校区初二期中）若一个正方形的面积是9m2+24mn+16n2，则这个正方形的边长是______． 例2．（2020·南京市金陵中学河西分校初一期中）因式分解： ________． 练习1．（2020·浙江省初一期中）若a+m=200，a m=4，则a2 m2 =_________． 练习2．（2019·江苏省初一期中）若 ， ，则 的值为______． 例3．（2019·重庆八中初二期中）利用因式分解计算 （1）3x3﹣3x2+9x （2）a4﹣8a2b2+16b4 （3）20202﹣2022×2018 （4）2.132+2.13×5.74+2.872 练习1．（2020·秦学教育甘肃省张掖校区初二期中）已知多项式(a2+ka+25)–b2，在给定k的值的条件下可以因式分解即：前半部分可以写成完全平方公式 （1）写出常数k可能给定的值； （2）针对其中一个给定的k值，写出因式分解的过程． 三、十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 备注：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （