3.1 两角和与差的三角函数（教案）-2020年高中同步教与学数学(苏教版必修4)

高中同步教与学·全新教案(活页) 第三章三角恒等变换 3.1两角和与差的三角函数 3.1.1两角和与差的余弦(1课时) 情感、态度与价值观 教学目郁》 通过问题的引入及对问题的探讨解决激发学生学习数学的 知识与技能 兴趣,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识.通 1.能利用向量的数量积推导两角差的余弦公式 过公式的推导培养数学思想方法和良好的思维品质 2.能用余弦的差角公式推出余弦的和角公式 用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简,求 重点难点 值及恒等式证明 重点 过程与方法 两角和差余弦公式的推导及公式的运用 培养学生观察分析、类比、联想能力推理能力及交流探讨能m难点 探索过程的组织和适当引导,两角差余弦公式的探究思路 的发现 案例(-)》 教学过程》 课前导学 所以cos(a-P)=cosO. 1.问题情境:由向量的数量积运算法则可知,cosx+sinx (cosx,sinx)·(1,1), B 于是有,cosx+sinx=√2cos(x 以用x的三角函数与的三角函数表示,那么cos(a-B)能否用 a的三角函数与B的三角函数表示? 2.自学要求:向量夹角公式及向量的数量积的定义 二、新课讲授 由图(2)可知 1.阅读教材第91、92页思考下列问题:把cos(a-)看成两-=2kx-0,k∈Z, 个向量夹角的余弦,怎样用向量的数量积来研究? 也有cos(a-B)=cos0 下面运用向量的知识进行探究,利用向量的数量积两种运所以cos(a-P)=cosa·cosB+sina,sinp 算形式得出结论: 因此,对于任意角aB有 如图所示,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为 cos(a-B)=cos a cos B+sin a.sin P Cca-py 始边作角a,B(不防设a>B),它们的终边与单位圆O的交点分别 为A,B,则 此公式显示了任意角aB的正弦、余弦值与其差角a-B的 OA=(cos a, sin a), OB=(cos B, sin ]) 余弦值之间的关系 由向量数量积的坐标表示,有 称为差角的余弦公式.简记作C(a-B O·OB=(cosa,sina)·(cosB,sinB 探究:我们要求两角差的余弦,所以可以考虑作角的余弦线 cos a cos B+sin a.sin B 进行思考 ①如果a-B∈[0,x时,那么向量O有与的夹角就是a 先考虑aβ都为锐角,且a>B.角a的终边与单位圆的交 由向量数量积的定义,有 点为P1,∠POP1=B,则∠xOP=a-B (a-B) 于是cos(a-B) 与O方的夹角,则 OA1·OB|cos=cos=cosa·cos+sina·sin. 由 于是a-B=2kx+0,k∈ 高中同步教与学·全新教案(活页) 作PM⊥x轴,垂足为M那么OM就是角a-B的余弦线 我们要设法用a,的正弦、余弦线来表示OM 作PA⊥OP1,垂足为A.过点A作AB⊥x轴,垂足为B.作 点评:把一个具体角构造成两个角的差的形式,有很多种构 PC⊥AB,垂足为C.那么OA表示cs,AP表示sin,并且造方法,例如:cos15°=cos(60-45°),要学会灵活运用 APC=∠P1Ox=a. 于是OM=OB+BM=OB+CP= ACos a+ BAsin a 例3已知sina5'∈(x,),cos 13是第三象 cos Bcos at sin Bsin a 限角,求cos(a-B)的值, 注意以上结果是在a,,-9都为锐角,且a>B的情况下得分析:要求cs(a-P的值,很显然要知道a,的正弦余弦 到的 值,也就是说要去求a的余弦值、的正弦值,利用sin20+cos20 要说明此结果是否在角a,B为任意角时也成立,还要作进一1可求的对应的值在这里要考虑其a的余弦值为负值,的正弦 步的推广工作.(学生可以自己参与) 值也为负值.最后套用公式即可. 分组讨论,引导学生建构数学 解:因为a∈(2,x),mna=方,由此得 (1)两角差的余弦公式cos(a-B)=? (2)两角和的余弦公式cos(a+B)=? cOs a 例题分析 例1利用两角和(差)的余弦公式证明下列诱导公式 又因为 cos B=-13,是第三象限角 (1)cos( 所以sinB=-√1-cos (2)sin c)cOS a 所以cos(a-B)= cos acos B+ sin asin B 证:(1)由公式Ca-得 -acos -cos asin o sin asin a 13)+吉×(-13)=-85 四、练习 所以有cOs sin a. 1.教材练习1,2,3 2.cos44°cos14°+sin44°sin14 (2)在上式中,用-a代替a,可以得到 2-a),或sin 3.cosa=,cos(a+B)=