2.4 向量的应用（教案）-2020年高中同步教与学数学(人教B版必修4)

高中同步教与学·全新教案(活页) 第二章平面向量 2.4向量的应用 2.4.1向量在几何中的应用(1课时) 教学目标 情感、态度与价值观 通过本节的学习,让学生体验向量在解决几何问题中的工 知识与技能 具作用,增强学生的探究意识,培养学生的创新精神和学习兴趣 运用向量的有关知识,解决平面几何中线段的平行、垂直、相 等等问题;理解直线的方向向量和法向量,能用向量知识解决解 重点难点 析几何中有关直线的平行和垂直问题,领悟到用向量法解决几m重点 何问题的优越性 用向量知识解决一些简单的平面几何、解析几何问题的方 过程与方法 法和步骤 掌握用向量法解决几何问题的两种基本方法—选择基向难点 量法和建系坐标法,领悟向量与解析几何的结合,培养学生的向 选择恰当的方法,将几何问题转化为向量问题 量运算能力、推理论证能力. 《案例(-)》 教学过程》 复习引入 总结:解决本题的关键是根据向量加法的几何意义,选择恰当的 1.回顾知识 三角形,表示两线段所对应的向量,把几何问题转化为向量问题. (1)平面向量的线性运算及其几何意义? [教师]对于例1,如果不用向量的方法,你能用演绎推理 (2)平面向量数量积的定义,利用它可以进行哪些量的计算?的方法解决这个问题吗? (3)如何判断两个向量的平行、垂直? 学生]思考、讨论解决.估计学生利用初中平面几何知识 师生活动]学生回答,教师点评、完善,导入新课. 能够证出,学生自己证明 2.导入新课:在学习向量及其运算时,我们已经看到向量加[师生]在学生证完后,将向量方法与演绎推理的方法加以 法运算和全等、平行数乘向量和相似,距离、夹角和数量积之间比较,指出向量方法解决某些几何问题具有优越性:它把一个思 的密切联系,因此,可用向量的运算解决平面几何中的一些问题.辨过程变成了一个算法过程,从而可降低思维的难度 本节课将通过几个例子,体会一下向量在平面几何解题中的应 [教师]通过例1的解答,思考总结用向量解决平面几何问 题的步骤 二、例题教学 学生]思考、讨论,归纳总结 1.向量在几何中的应用 师生]交流、完善,总结步骤:(1)建立平面几何与向量的 例1的教学 联系,用向量表示问题中涉及的元素,将平面几何问题转化为向 教师]出示教材例,本例就是要研究平行四边形的判定问量间题:(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系:(3)把运算 题涉及两边的相等和平行问题,我们常常要考虑向量中哪些知识 结果转化为几何关系 师生]思考、讨论、交流,形成一致认识 练习:教材练习A1. 两边的相等和平行问题,常常要借助向量的运算研究向量 例2的教学 的相等 [教师]出示教材例2,由于M是两对角线的交点,要证点 [教师]要把几何问题转化为向量问题,首先应赋图形中的M平分ACBD只要证明A立=AC,B=BD即可如果选 线段为向量,在此基础上表达问题中涉及的向量请同学们把问择A,AD当做基底,已知平行四边形ABCD的两条对角线相 题转化为向量问题. 交于点M,可设A=xAC,BM=yB,只要列出A的两个表 学生]思考讨论这里涉及了一个十分常见的图形一达式,根据向量关于同一基底的表达式是唯一的,建立“向量方 平行四边形,估计学生向量化不会有太大困难 程”就可以解决,请同学们沿此思路思考如何解决? 师生]交流、完善 [师生]学生自主思考、探究.让学生发表自己的思考探究 设AB=D=a,B=Fb=b,则AE=?,FC=? 过程.估计学生思路多样,应充分让学生把思维过程表达出来.在 [教师]请同学们在此基础上,探究问题的答案,并总结解此基础上,引导学生完善解答过程 题方法 因为,A立=xAC=xA+xA方 师生]让学生展示探究过程,问题答案,师生共同完善 AM=AB+BM=AB+yBD=AB+y(AD-AB)=( 高中同步教与学·全新教案(活页) y)·AB+yA方, 直线法向量的定义:如果表示向量的基线与一条直线垂直 所以,xAB+xAb=(1-y)AB+yAb 则称这个向量垂直该直线.这个向量称为这条直线的法向量 又AB,A方不共线, 例5的教学 解得 . -y, [教师]出示教材例5,启发学生:如何证明向量n⊥l?留 从而A方=1 BD,所以AM=MC,BM=MD 给学生充足的思考、讨论时间. [学生」思考、讨论,完成解答 总结:本题选取了恰当的基向量,通过列向量方程,解方程组 法一:教材的证明方法 得到结论,体现了方程思想在向量解题中的运用. 法二:求出直线l方向向量a=(-B,A),只需证明n⊥a即 教师]当然,本题用演绎推理的方法证明比较简单,此向可 量法给我们提供了向量证明几何问题的一般方法 师生]归纳一般结论:在直线l:Ax+By+C=0中,向量 例3的教学 (A,B)与直线l垂直,即为直线的法向量;向量(-B,A)与直线 [教