沪科版九年级下册数学 24.4.3 切线长定理 (共16张PPT)

24.4.3 切线长定理 沪科版九年级下册数学 回顾旧知 1、直线与圆的位置关系有哪些？ 2、切线性质： 圆的切线垂直于经过切点的半径. *例4. 点P为⊙O外一点，过点P作直线与⊙O 相切. P o A B 过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. P o A B 切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？ 探究 如图：PA，PB是圆O的两条切线，A,B是切点. 沿OP将图形折叠，你发现什么？ 发现：PA=PB, ∠APO= ∠BPO 请证明：PA=PB, ∠APO= ∠BPO 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点， ∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°， ∵ OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB. 切线长定理 过圆外一点，作圆的两条切线，两条切线长相等， 圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 切线长定理 过圆外一点，作圆的两条切线，两条切线长相等， 圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 几何语言： ∵PA，PB分别切⊙O于A，B， ∴PA=PB,OP平分∠APB. 探究：PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于点C. B A P O C E （1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB AB⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC D △AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC， △ACP≌△BCP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP，△AOB （3）写出图中所有的全等三角形 B A P O C E D . P B A O （3）连接圆心和圆外一点 （2）连接两切点 （1）分别连接圆心和切点 反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形. 想一想 【例1】如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P， 求证：AD+BC=AB+CD. 证明：由切线长定理得 AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP, ∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN, 即AD+BC=AB+CD， 补充：圆的外切四边形的两组对边 的和相等． D L M N A B C O P 【例题】 【例1】△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长. 【解析】 设AF=x,则AE=x ∴CD=CE=AC-AE=13-x， BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC可得 13-x+9-x=14， 解得x=4. ∴ AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm. 【例题】 A B C D E F 2.设△ABC的边BC=8，AC=11，AB=15，内切圆⊙I和BC,AC,AB分别相切于点D,E,F. 求AE,CD,BF的长. . I 【解析】设AE=x，BF=y，CD=z, 答：AE ,CD ,BF的长分别是9,2,6. x y z x y z x+y=15, y+z=8, x+z=11, x=9, y=6, z=2, 则 解得 1.如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长. 4 2 x x 【解析】设OA=xcm； 在Rt△OAP中，OA=xcm，OP=OD+PD=（x+2）cm，PA=4cm, 由勾股定理，得 PA2+OA2=OP2， 即42+x2=(x+2)2, 整理，得x=3. 所以，半径OA的长为3cm. 【跟踪训练】 1．（珠海·中考）如图，PA,PB是⊙ O的切线， 切点分别是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等 于（ ） A.60° B.90° C.120° D.150° C （3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ ） A A 16cm D 8cm C 12cm B 14cm D C B E A P 2.（杭州·中考）如图，正三角形的内切圆半径为1， 那么这个正三角形的边长为（ ） A．2 B．3 C． D． D $$