2020北京空中课堂高二数学人教B版选修1-1第三章3.3.2利用导数研究函数极值（1）（课件+学案+学习任务单） (共3份打包)

教 案 教学基本信息 课题 利用导数研究函数极值（1） 学科 数学 学段：高中 年级 高二 教材 书名：普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1 （B版） 出版社：人民教育出版社出版 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1.结合函数实例，借助几何直观感知并经历函数极值概念的形成过程，发展数学抽象素养； 2.结合函数实例，归纳并掌握求解函数极值的步骤，发展逻辑推理素养； 3.在具体实例中，运用恰当的方法解决函数极值的简单问题，提升数学转化能力，发展逻辑推理素养和数学运算素养. 教学重点、难点： 理解函数极值概念，掌握求函数极值的步骤. 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 引入 创设情景，引入概念 问题1：观察下列函数图象（图1-图3），请说出图中的点、、、、有什么共同的特点？ 借助具体函数的图象，初步感知函数极值的概念，培养抽象概括能力. 新课 （一）细化分类，举例感知 在上面三个函数的图象中，点、、对应的函数值、、，都比附近点的函数值小，我们称之为极小值；点、对应的函数值、，都比附近点的函数值大，我们称之为极大值. 图4 问题2：还能再列举出一个有上述类似特征的函数吗？ 正弦函数是有上述类似特征的函数，由图象可以发现， 函数值1，是正弦函数的极大值； 函数值-1，是正弦函数的极小值. （二）概括本质，形成极值概念 问题3：根据前面的分析，你能试着给出函数极大值与极小值的定义吗？ 已知函数及其定义域内一点，对于存在一个包含的开区间内的所有点，如果都有 ， 则称函数在点处取极大值，记作，并把称为函数的一个极大值点；如果都有 ， 则称函数在点处取极小值，记作，并把称为函数的一个极小值点. 极大值与极小值统称为极值. 极大值点与极小值点统称为极值点. 概念辨析 （1）定义中“存在一个包含的开区间”. （2）定义中，把横坐标称为函数的一个极值点，极值点不是一个点. （三）概念应用，深化理解 问题4：已知函数在闭区间上的图象，如图5.观察图象，请回答下列问题. （1）请说出函数的极值点；图5 （2）请说出函数在每一个极值点处的导数值； （3）请说出在极大值点与极小值点附近函数及其导数的取值情况.图6 （五）归纳求函数极值的步骤 可导函数求函数极值的主要步骤 I 确定函数定义域，并求导数； II 求方程的所有实数根； III 对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数的符号如何变化. 如果的符号由正变负，则是极大值；如果的符号由负变正，则是极小值. 追问：方程的实数根一定是函数的极值点吗？图8 图9 借助熟悉函数，再次感知函数极值的根本特征. 经历概括函数极值定义的过程，体会数学概念的定义方式，发展学生数学抽象素养. 借助函数图象，直观感知可导函数中极值与导数的关系，引导学生利用导数研究函数极值. 应用极值与导数的关系，梳理求解函数极值的步骤. 例题 例：已知函数.求函数的极值，试作出函数的图象. 解：函数定义域为. ， 解方程，得， . 当变化时，，的变化状态如下表： 从表上看出，当时，函数有极大值，且 . 而当时，函数有极小值，且 . 根据函数单调性与极值，得到大致图象如图7. 练习：求函数的极值. 例：已知函数的导函数的图象，如图10.观察导函数的图象，请说出的极值. 解：观察导函数的图象，根据极值定义，可知 是的极大值点，是极大值； 是的极小值点，是极小值. 练习：函数的定义域为，导函数在上的图象，如图11. （1）说出函数在内有几个极大值点； （2）说出函数在内有几个极小值点. 思考题：已知在闭区间的图象，如图12.请思考下列问题. （1）若，是的一个极值点吗？ （2）是的一个极值点吗？ （3）函数的极大值一定大于函数的极小值吗？ 通过解决实际问题，增强对极值概念的理解，掌握利用导数求解极值的方法. 借助导数图象，巩固利用导数研究函数极值的方法，强化数形结合思想在函数中的运用. 结合函数实例，回归函数极值的概念本质. 总结 1. 通过观察、分析具体函数的图象，经历了从特殊到一般的归纳概括的过程，我们发现并得到了函数的一个重要性质：函数极值. 2. 在对函数极值进行定义时，经历了从具体到抽象的数学抽象过程，感受并体会了数学概念定义的一般方式，最终理解并掌握了函数极值的概念. 3. 对于可导函数，通过解决具体函数的极值问题.归纳并得到了求函数极值的步骤. 4. 最后，应用极值知识和方法，解决函数极值问题，巩固并强化了利用导数研究函数极值的步骤与方法. 这是一个重组知识的过程，是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我熟悉过程.通过小结反思学习过程，加深对极值概念的产生和形成过程的印象，深化理解极值概念及其内涵；领会研究问题的方法