第1讲 计数原理（知识点串讲）-2019-2020学年高二数学下册期末考点大串讲（人教A版）选修2-3

第1讲　计数原理 1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 例1．(P19例4改编)从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有(　　) A．30　　　 B．20　　 C．10　　　 D．6 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 3. 利用分步乘法计数原理解题时3个注意点 (1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的． (2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事． (3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定． 例2．(2018·山东济南期末)从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有(　　) A．30个 B．42个 C．36个 D．35个 练习．(全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　) A．24 B．18 C．12 D．9 练习．有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则不同的报名方法有____________种． [变式探究1]　本题2中将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？ [变式探究2]　本题2中将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？ 4．两个计数原理的比较 名称 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 都是解决完成一件事的不同方法的种数问题 不同点 运用加法运算 运用乘法运算 分类完成一件事，并且每类办法中的每种方法都能独立完成这件事情，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性．分类计数原理可利用“并联”电路来理解 分步完成一件事，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事情，要注意“步”与“步”之间的连续性．分步计数原理可利用“串联”电路来理解 例3．(2019·四川成都月考)如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路；从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有____________条不同的路线． 练习. (2019·山东滨州模拟)已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各选一个数作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内不同点的个数为(　　) A．18个 B．10个 C．16个 D．14个 5．排列与排列数 (1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A． 6. 求解排列问题的六种主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反、等价转化的方法 例4．(2019·山东东营月考)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了____________条毕业留言．(用数字作答) 7．组合与组合数 (1)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C． 8．解决组合应用题的2个步骤 第一步，整体分类：要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理． 第二步，局部分步，用到分步乘法计数原理． 9．含有附加条件的组合问题的2种方法 通常用直接法或间接法，应注意“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理解，对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题，既可考虑反面情形即间接求解，也可以分类研究进行直接求解． 例5、（2019年沙坪坝区月考）要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有____________种不同选法． [变式探究1]　本例中若将条件“A，B，C三人