专题05 以三角形为载体的几何综合问题-决胜2020年中考数学压轴题全揭秘精品（浙江专用）

决胜2020年中考数学压轴题全揭秘（浙江专用） 专题05以三角形为载体的几何综合问题 【考点1】关于三角形角度计算与证明的综合问题 【例1】（2019•衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　　） A．60° B．65° C．75° D．80° 【例2】（2019•杭州）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC． （1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B． （2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数． 【考点2】关于三角形的线段计算综合问题 【例3】（2019•绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（　　） A． B． C． D． 【例4】（2020•浙江自主招生）如图，等边三角形ABC中，AO是∠BAC的平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边三角形CDE，连结BE，延长BE至点Q，P为BQ上一点，连结CP，CQ，使CP＝CQ＝5，若BC＝8时，则PQ的长为　 　． 【考点3】全等三角形的计算与证明 【例5】（2019•温州）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F． （1）求证：△BDE≌△CDF． （2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长． 【考点4】三角形与旋转变换综合问题 【例6】（2019•绍兴）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10． （1）在旋转过程中， ①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长． ②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长． （2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长． 【考点5】以三角形为载体的几何综合探究问题 【例7】（2018•舟山）已知，△ABC中，∠B＝∠C，P是BC边上一点，作∠CPE＝∠BPF，分别交边AC，AB于点E，F． （1）若∠CPE＝∠C（如图1），求证：PE+PF＝AB． （2）若∠CPE≠∠C，过点B作∠CBD＝∠CPE，交CA（或CA的延长线）于点D．试猜想：线段PE，PF和BD之间的数量关系，并就∠CPE＞∠C情形（如图2）说明理由． （3）若点F与A重合（如图3），∠C＝27°，且PA＝AE． ①求∠CPE的度数； ②设PB＝a，PA＝b，AB＝c，试证明：b． 【例8】（2018•台州）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD＝CE． （1）如图1，求证：∠CAE＝∠CBD； （2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF； （3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC＝2，CE＝1，求△CGF的面积． 【考点6】以三角形为载体的几何阅读创新题 【例9】（2018•绍兴）数学课上，张老师举了下面的例题： 例1 等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°） 例2 等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数，（答案：40°或70°或100°） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式 等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数． （1）请你解答以上的变式题． （2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围． 一．选择题（共5小题） 1．（2020•衢州模拟）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章中有一题：“今有开门去阃（kǔn）一尺，不合二寸，问门广几何？”大意是说：如图，推开双门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺＝10寸），双门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）AB为（　　） A．103寸 B．102寸 C．101寸 D．100寸 2．（2020•拱墅区校级一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠ADC＝3∠BAD，BD＝4，DC＝3．则AB的值为（　　） A．5